Racine d'un nombre

termine toujours par une fonction Fonction définie par parties Fonction racine carrée Plusieurs fonctions f ( x ) = a b( x − h ) + k Recherche de la règle d’une fonction racine carrée Cela prend un sommet et un point quelconque. Le paramètre b est obtenu en fonction de l’orientation de la courbe. Isoler le x. Pour l’inéquation, tenir compte de la restriction sous le radical Résoudre équation et inéquation d’une fonction racine carrée Fonction valeur absolue Recherche de la règle d’une fonction

EXERCICE 3 (4 points ) Commun à tous les candidats 1) Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x. a) Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, kn kk ≤ . n! k! b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, x xn ≤ n! k n × kk . k! c) Montrer que : xn = 0. n→+∞ n! lim 2) a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, nn−1 ≥ 1. n! nn−1 comme un produit de n − 1 facteurs supérieurs ou égaux à 1). n

print"message" | print"La valeur de X est : " | Ecrire le contenu d'une variable X | print X | print X | Ecrire un message suivi du contenu d'une variable X | print"message",X | print"La valeur de X est : ",X | Saisir le contenu d'une variable X précédé d'un message. | X=input("message") | X=input("Saisir la valeur de X ") | Affectation : A prend la valeur 5 | A=5 | A=5 | Opérations : A+B A-B 2A 2/A A3

2. 2. a) On procède par récurrence sur la rang n. - pour n = 0 , u0 = 1 vérifie bien 0 < u0 ≤ 2 - supposons que l’on a vérifié pour un certain entier n : 0 < un ≤ 2 on multiplie chaque membre par 2 > 0 : 0 < 2un ≤ 4 on utilise le fait que la racine carrée est strictement croissante : 0 < √ 2un ≤ 2 on en déduit 0 < un+1 ≤ 2, ce qui prouve que la propriété est héréditaire - on peut alors conclure que pour tout entier n , 0 < un ≤ 2 b) On démontre par récurrence que pour tout entier naturel

travers de quelques exemples : Considérons par exemple la fonction suivante : Cette fonction simple peut être "utilisée" pour n'importe quel "x" dans , c'est-à-dire n'importe quel nombre réel. En effet quel que soit le nombre que vous choisissiez, il est possible de calculer son carré, d'y ajouter trois fois ce nombre puis de soustraire 5. On dit que f est définie sur , c'est-à-dire qu'elle "fonctionne" avec n'importe quel réel, ou plus scientifiquement, que l'image de chaque réel par f est définie

42  23  82  31  122    Hyperbole  domaine: ]­∞, ­4.59]  U [ 7.41, +∞[  image: IR  zéro: 9.48 et 2.52  ordonne origine:  ­5 et 17  Ø min ou max  Ø positif ou négatif  Ø croissance ou  décroissance  (x­6)²​  ­ ​ (y­6)²​  =1  1.97       7.03  Racine carrée  y=5√1(x­7) +2  domaine: [ 7, +∞[  image: [ 2, +∞[  croissante sur son  domaine  min: {2}  positif sur le domaine  Ø de zéro  Ø d'ordonnée origine              Quadratique  Domaine: IR  Image: [­294,∞[  Ordonnée origine:   ­240  Zéros: 

Module racine carrée I Définition : Si a est un réel positif ou nul, [pic]est le seul réel positif ou nul dont le carré est a. Bref :[pic]. Attention on a donc aussi : [pic] Remarque 1 : la phrase « une racine carrée est toujours positive », très souvent entendue, est donc vraie mais sans grand intérêt. Ce qui est important c’est que ce qui se trouve sous la racine carrée (appelé le radicande) soit positif. Remarque 2 : la phrase « il n’y a jamais de signe – sous une racine carrée » est

de f sur I et k un nombre réel. La fonction G définie sur I par G(x) = F(x) + k est encore une primitive de f sur I. III. Primitives de fonctions usuelles f(x) 0 a x xn ],0[ ou ]0,+ ]0,+ (où k ) [ [ , n différent de -1 I F(x) k ax+k Primitives d'une puissance f = u . u' , alors n + k. avec k nombre réel et n différent de -1. Primitives de l'inverse d'une puissance f= , alors + k. avec k nombre réel et n différent de 1. Primitives de l'inverse d'une racine carrée f= , alors

pour racines 0 et 4. Il est positif à l'extérieur de ses racines : |x |-õ |0 | |4 |+õ | |−4x |+ |0 |- |0 |+ | L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle. On en déduit le domaine de définition de f : =∟ 2. Recherche d'un axe

naturel t , !. =u, - 6. a) Pow tout rombre entier natuel /| , calculer v,*, en fonction de vn Quelle est la nature de la suite (r,) ? b) Démontrei que pow tout nombre eûtier natulet I, tz, = -s /rY +e [iJ . c) Étudier Ia convergence de la suite (r,). 2) On coNidère la suite (v,) dont les temes védfient, pow tout nombre enter z > I nw, =\n +l)w, r+1 et vo:1. L€ tableau suivart dome les dix premiers termes de cette suite. 'Wo : Wl 3 W2 1,!3 lt5 9 11 196 w8 15