Racine d'un nombre

dénominateur, celui-ci doit être NON NUL. En conséquence, les fonctions rationnelles sont définies pour toutes les valeurs qui n’annulent pas leur dénominateur. π  π  La fonction tangente est définie sur  − + k π; + k π  , k ∈ ℤ . 2  2  3) La fonction racine carrée x → x est définie sur [ 0; +∞[ . Si l’expression de la fonction présente un radical, l’expression située sous le radical doit être POSITIVE OU NULLE. 4) La fonction logarithme népérien x → ln x est définie sur ]0;+∞[ . Si l’expression de la

converge vers 0) . Si q>1 alors la suite (q^n) n’a pas de limite (elle diverge vers +infini) Soit q un réel tel que 0<q<1 : Alors la suite u est définie par la somme Un=1+q+q^2+…+q^n est strictement croissante et a pour limite le nombre réel 1/(1-q)

Fonction exponentielle Définition La fonction exponentielle est définie pour tout nombre réel x par : exp : x ) ex, avec ln (e) = 1 et e = 2,718 281 …… On a donc exp(x) = ex ; ex = y x = ln y (y > 0) En effet, ex = y ln(ex ) = ln y et x×ln(e) = ln y soit x = ln y Fonctions réciproques ✓ La fonction "carré" admet sur les réels positifs une fonction réciproque appelée "racine carrée". 1- Dans le repère orthogonal ci-contre, sont présentées les courbes U, V et W représentatives

Racine carrée/Exercices/Utiliser la quantité conjuguée pour déterminer une limite Suivre cette page Lydie Noria a remis en cause la pertinence des enseignements présentées sur cette page. Soit le niveau pédagogique n'est pas adapté au niveau défini dans le sommaire de la leçon, soit la page utilise des connaissances (prérequis) que l'élève ou l'étudiant n'est pas censé avoir, soit la page donne des enseignements non conformes aux objectifs fixés par le créateur de la leçon. Une réécriture ou recyclage

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 0 < un < 2. initialisation pour n=0 u0 = 1 et 0 < 1 < 2 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc 0 < un < 2 donc 1 < u n +1 < 3 donc √ 1< √ un +1< √ 3 car la fonction racine carrée est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [ Or √ 1=1>0 et √ 3≈1,7< 2 donc 0<1< un +1< √ 3< 2 donc si 0 < un < 2 alors 0 < un+1 < 2 conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 , elle est donc vraie pour tout n. b)

EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D’UN POLYNOME MESURANT LES COTES D’UN TRIANGLE Equations de degré 3 Soit P (X) = X 3 + bX 2 + cX + d un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On peut écrire P (X) = Q X + où Q(X) = X 3 + pX + q b2 bc 2b3 et q = d − + . 3 3 27 Il suffira de savoir calculer les racines de Q pour obtenir celles de P . p=c− Si l’on pose X = x+y, on trouve Q(X) = x3 + y 3 + (3xy + p)(x + y) + q , et donc, si (x, y) est solution du système (S) le nombre x + y est racine de Q. Inversement, si

Polynômes et équations du second degré Savoir-faire : Mettre un polynôme du second degré sous forme canonique Déterminer les racines d'un polynôme du second degré Etudier le signe d'un polynôme du second degré Utiliser la forme la plus adaptée (développée, canonique, factorisée) d'un polynôme du second degré en vue de résoudre un problème 1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c

 LE SECOND DEGRE I- Fonctions polynômes de degré 2 1) Définition : Une fonction f définie sur  est une fonction polynôme de degré 2 s’il existe des nombres réels a (a  0), b et c tels que, pour tout nombre réel x : f (x) = ax² + bx + c. C’est la forme développée de f (x). Exemple : f (x) = 2x² + 8x + 16. f est une fonction polynôme de degré 2. 2) Forme canonique : Soit f (x) = ax² + bx + c avec a  0. f(x) peut s’écrire : f (x) = a (x - )² +  où  = - et  = f (). C’est la

du second degré Définition On appelle racine d'un polynôme P(x) une solution de l'équation P(x)=0 Remarque Ne pas confondre les mots "racine" et "racine carrée" ! Définition On appelle discriminant du polynôme P(x)=ax2+bx+c le nombre : Δ=b2−4ac Théorème Si Δ > 0, le polynôme P admet deux racines distinctes : x1= −b−√Δ 2a et x2= −b+√Δ 2a Si Δ=0, le polynôme P admet une racine unique : x0= −b 2a Si Δ < 0, le polynôme P n'admet aucune racine réelle. Exemples P1(x)=−x2+3x−2 Δ=9−4×(−1)×(−2)=1

POLYNOMES DU SECOND DEGRE I) Polynômes Définitions : Soit a un nombre réel non nul et n un entier naturel. • La fonction f définie sur R par f ( x ) = axn est une fonction monôme de degré n. L’expression ax n est appelée monôme de degré n. • On appelle fonction polynôme, une somme de fonctions monômes. • On appelle degré d’un polynôme, le degré le plus élevé de la variable x. Exemples : II) Fonction polynôme du second degré Définition : On appelle fonction polynôme du second degré ou trinôme