Racine d'un nombre

second degré, ou trinôme du second degré, est définie sur R et s’écrit sous la forme réduite P (x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont trois nombre réels quelconques avec a = 0. b Une fonction polynômiale P du second degré peut aussi s’écrire sous forme canonique P (x) = a(x −α)2 +β avec α = − . 2a 2) Interprétation graphique Propriété : la représentation graphique d’un trinôme du second degré est une parabole de sommet S(α; β), orientée vers le haut ou vers le bas ; on a donc deux cas de figure : Si a

Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 -

degré f vérifiant les conditions suivantes : ses racines sont − 1 et 2 et on a f (1) = 4. On sait qu’un tel trinôme s’écrit sous forme factorisée f (x = a(x + 1)(x − 2). De f (1) = 4, il résulte que f (1) = a × (−1) donc −2a = 4 soit a = −2. En développant l’expression ainsi obtenue, il résulte : f (x) = −2x2 + 2x + 4 . 2. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 5x2 + 3x − 2. a. Factoriser h(x) ; 2 2 1 est racine évidente de ce trinôme, l’autre racine est . Ainsi, h(x) = 5(x+1) x − 5 5 b. Donner

[correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ C [X]. On pose M = sup |P (z)| |z|=1 Exercice 2 [ 02674 ] [correction] Trouver les P ∈ R [X] tels que P (X 2 ) = (X 2 + 1)P (X). Montrer ∀k ∈ {0, . . . , n} , |ak | M (indice : employer des racines de l’unité) Exercice 3 [ 02377 ] [correction] a) Pour n ∈ N, développer le polynôme n (1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 ) . . . (1 + X 2 ) b) En déduire que tout entier p > 0 s’écrit de façon unique comme somme de puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, . .

complexes vaut 1. Solution 2 a, b, c sont les racines du polynˆme : o P = (X − a)(X − b)(X − c) = X 3 − (a + b + c)X 2 + (ab + ac + bc)X − abc = X 3 − X 2 + (ab + ac + bc)X − abc Il faut donc montrer que 1 est racine de P . Or P (1) = ab + bc + ac = abc i.e complexes de module 1 donc 1 a 1 1 1 + + = 1 Mais a, b, c sont des a b c = a. Et donc : ¯ 1 1 1 + + =a+b+c=1 a b c C’est donc gagn´ ! e Exercice 3 Montrer qu’il existe une infinit´ de nombres premiers congrus ` 1 modulo 4. e a Solution

Equation du 2nd degré a. La forme générale d'une équation du 2nd degré est : ax² +bx + c = 0 avec a # 0 exemples : 3x² - 5x + 2 = 0 où a = 3 ; b = - 5 et c = 2 - 4x² + 7 = 0 où a = - 4 ; b = 0 et c = 7 b. Le nombre de solutions d'une équation du 2nd degré dépend de la valeur d'un nombre T appelé discriminant et tel que T = b² - 4 ac. On distingue 3 cas en fonction de la valeur de T Si T > 0, l'équation a deux solutions distinctes : −b− ∆ −b+ ∆ et x 2 = x1 = 2a 2a Si T = 0, l'équation

polynômes- Equations et Inéquations du 2nd degré I- Généralités sur les polynômes Une fonction polynôme est une fonction numérique qui peut s’écrire sous la forme f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ……… + a1x + a0 Où a0, a1, a2, ……… an sont des nombres réels donnés appelés coefficients. x est la variable. Si an ≠ 0 le polynôme est de degré n Exemple: f(x) = (x+1)2 + (x-1)2 + x4 f(x) = x4 + 2x2 + 2 C’est un polynôme du 4ème degré. Le coefficient de x4 vaut 1 Celui de x3

c) En déduire une expression simple de Pn (2 cos θ ) pour θ ∈ ℝ . d) Déterminer les racines de Pn . Dérivation Exercice 3 Résoudre les équations suivantes : a) P ′ 2 = 4P d’inconnue P ∈ K [X ] b) (X 2 + 1)P ′′ − 6P = 0 d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 4 Montrer que pour tout entier naturel n , il existe un unique polynôme Pn ∈ ℝ [X ] tel que Pn − Pn′ = X n . Exprimer les coefficients de Pn à l’aide de nombres factoriels. Exercice 5 Déterminer dans K[X ] tous les polynômes divisibles par leur

des solutions à une équation du troisième degré : la recherche de racines évidentes d’une part, et la formule de Cardan d’autre part. La première méthode est accessible en 1re S, la deuxième concerne davantage la Terminale S. 1. Recherche de racines évidentes. Dans cette section, on traite trois exemples d’équations du troisième degré sans utiliser de formule spéciale pour en trouver les solutions. C’est en remarquant que, si le nombre u est solution de an xn + · · · + a1 x + a0 = 0, alors on en déduit

Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3. 2?? Soit ? = (? + 1)7 − ? 7 − 1. On note ? = ? 3 1. Montrer que 1 + ? = −? 2 2. Montrer que ? est une racine multiple de ?. 3. Trouver deux racines réelles évidentes de ?. 4. Factoriser ? en facteurs irréductibles dans ℂ[?] et puis dans ℝ[?]. Allez à : Correction exercice 3 Exercice 4. Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme : ? (? ) = ? 5 + ? 4 + ? 3 + ? 2 + ? + 1 En déduire sa factorisation dans ℂ[?] et dans ℝ[?]. Allez à : Correction