Racine d'un nombre

obtenues. 2. Une inéquation linéaire est représentée par un demi-plan que l’on détermine ainsi : (a) équation de la droite frontière ; (b) tracé de cette droite avec deux points bien choisis ; (c) hachures du demi-plan qui ne convient pas à l’aide d’un test de l’inégalité à l’origine O du repère. 3. exemple Soit l’inéquation : 5x + 3y 15 (a) la droite D frontière est : 5x + 3y = 15 (b) on la trace avec les points (0, 5) et (3, 0) (d) on hachure donc au dessus de la droite 4. Autre méthode On transforme

Chapitre 1 : Fonctions polynômes du second degré I. Rappels Définition : f est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombre a, b et c tels que pour tout x∈R : fx=ax2+bx+c où a, b et c sont les coefficients de polynômes Théorème : Le tableau de variation de la fonction f est : 1er cas : a>0 2e cas : a<0 En particulier, la fonction f admet un extremum en x=α Théorème 2 : Dans un repère ortho normal (O ; I ; J), la courbe représentative de la fonction

(U, V ) ∈ K [X] tel que AU + BV = 1 et deg U < deg B . deg V < deg A Exercice 12 [ 02136 ] Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynôme Pn ∈ R [X] tel que Pn − Pn = X n . Exprimer les coecients de Pn à l'aide de nombres factoriels. Exercice 6 [ 02130 ] 2 Soit (A, B) ∈ K [X] non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) A et B ne sont pas premiers entre eux. (ii) ∃(U, V ) ∈ ( K [X] − {0})2 tel que AU + BV = 0, deg U < deg B et deg

∑ k=0 ak X k un polynôme annulateur non nul ) fλ = P (λ) fλ de D et, pour tout réel λ, par fλ : t → eλt , on a alors : ( 0 = P (D) (fλ ) = ak D (fλ ) = k p ∑ a k λk k=0 et P (λ) = 0. Ce polynôme non nul P aurait alors une innité de racines, ce qui n'est pas sérieux. On a donc Iu = {0} et D n'a pas de polynôme minimal. u = 0 si, et seulement si, πu (X) = X. De manière plus générale, les homothéties sont les seuls endomorphismes ayant un polynôme minimal de degré égal à 1, c'est-à-dire

bas. . III. Equations du second degré. Activité. Définition : Une équation du second degré est une équation du type. Résoudre une équation du second degré c’est donc trouver tous les réels qui vérifient Les solutions de l’équation sont appelées racines du trinôme Définition : Soit une fonction polynôme de degré 2. avec Le discriminant de est le réel Le discriminant va nous permettre de dénombrer les solutions de l’aquation Proposition : 1° Cas : L’équation admet deux solutions notées

rationnelles .......................................................... 6 1.4 Nombres complexes.................................................................................... 9 1.5 Analyse ........................................................................................................ 10 1.6 Fonctions usuelles ..................................................................................... 15 1.7 Nombres réels ......................................................................

3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Argument et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Nombres complexes

polynomiale 3 1.1 Introduction à l'interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . .

d'apprendre à diagonaliser une matrice, quand c'est possible. Définition 12.1.2 Diagonaliser une matrice , c'est trouver une matrice de passage et une matrice diagonale telles que : Pour illustrer l'intérêt de la diagonalisation, prenons l'exemple d'un système d'équations de récurrence linéaire, du type , où désigne un vecteur dont on souhaite connaître l'expression en fonction de . Du point de vue théorique, il n'y a pas de problème : Mais cela n'avance à rien si on ne sait pas calculer

transcendant sur K, et dans le second, a sera dit algébrique sur K. Exemple X K X est transcendant sur K. 1.1 Cas où a est algébrique sur K I a Ker σ , est un idéal non nul de K X . Mais K X est un anneau principal. Donc Ker σ est principal. D’un autre côté, deux générateurs de I a sont tels que l’un d’eux est le produit de l’autre par un élément de K , il en résulte que cet idéal possède un générateur unitaire et un seul. Théorème Le polynôme Irr a K est irréductible dans K X . Démonstration