Racine d'un polynôme

les critiquer que se fera une grande partie de l’évaluation. Pour ce qui concerne l’utilisation des calculatrices, nous donnerons les procédures à suivre pour une TI82stat.fr et une casio25+. Des conseils vous seront aussi donnés sur l’utilisation d’un tableur. Nous vous souhaitons bon courage pour l’étude de ce cours, en espérant que le découpage de chaque séquence soit pour chacun un procédé efficace d’apprentissage. D’autre part, vous trouverez des compléments de ce cours sur le site internet

conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu’à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d’un cours ou d’une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. ©Cned-2013 © Cned - Académie en ligne Sommaire Corrigé séquence 1 Corrigé séquence 2 Devoir autocorrectif A Corrigé autocorrectif A Corrigé séquence 3 Corrigé

est trivialement véri�ée. 1� Supposons u non nul. Alors q(u) > 0, et l'on déduit encore que pour tout vecteur v, q(u)q(v)−B(u, v)B(v, u) ≥ 0. L'inégalité de Cauchy-Schwarz est donc également véri�ée. Exercice 2 Soit Rn[X] l'espace vectoriel des polynômes réels de degré infé- rieur ou égal à n (n ≥ 1). Pour tous P, Q ∈ Rn[X], on pose B(P, Q) = ∫ 1 0 tP (t)Q′(t)dt et q(P ) = B(P, P ). 1. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisy- métrique ? 2. Montrer que q est une forme

tout A, B ∈ Mn (K), f (AB) = f (A)f (B) Montrer que A ∈ Mn (K) est inversible si, et seulement si, f (A) = 0. [ 00707 ] [correction] ∞ Soit S(x) = an xn le développement en n=0 N a) Pour N ∈ N, on pose SN = an xn et n=0 (SN (x))2 − 1 − x est un polynôme dont la Exercice 4 série entière de x → +∞ √ 1 + x. RN = n=N +1 an xn . Montrer que plus petite puissance de x est de degré est une base de C(A). N + 1. b) Soit A ∈ Mn (C) nilpotente. Justifier l’existence d’une matrice

..................................................................................... 15 Calcul du déterminant d’une matrice avec les cofacteurs ............................................................................. 15 Calcul de la solution d’un système d’équations linéaires - Règle de Cramer................................................ 16 10. Matrice inverse et pseudo-inverse ....................................................................................................... 17 1er

. 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires 1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires 1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

. . . . . . . . . . . . 3.1.1 Notation cartésienne, partie réelle, partie imaginaire . . . . . 3.1.2 Plan complexe. Affixe d’un point, d’un vecteur . . . . . . . . 3.1.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Notion de transformations du plan complexe . . . . . . . . . Module et distance dans le plan complexe . . . . . . . . . . 3.2.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Distance dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

préoccupation principale pour les décideurs et a fait l’objet de nombreux travaux qui utilisent différentes techniques et de prévision dont l’objectif est de proposer une meilleure visibilité sur l’évolution future. L’approche économétrique a occupé l’intérêt d’un grand nombre de chercheurs pour l’analyse et la prévision des séries temporelles dans divers domaines. Dans ce chapitre, nous étudions les modèles autorégressifs linéaires (VAR) et le modèle à correction d’erreur. L’intérêt de VAR est de proposer

on calcule le nombre d’opérations fondamentales exécutées par l’algorithme. Le choix est bon si le nbre total d’opérations est proportionnel au nbre d’opérations fondamentales. Complexité des algorithmes 11 exemples : Problème recherche d’un élément dans une liste multiplication des matrices réelles addition des entiers binaires Opération fondamentale comparaison entre l’élément et les entrées de la liste multiplication scalaire opération binaire Complexité des algorithmes 12