Radian

subdivise en 60 secondes et on note 1’ = 60’’. b) Le radian Le radian est l’amplitude d’un angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle. On le note 1 rad c) Périmètre d’un cercle et aire d’un disque Le périmètre d’un cercle de rayon R est P = 2[pic]R L’aire d’un disque de rayon R est A = [pic]R² d) Lien entre degrés et radians L’angle au centre en radians qui intercepte un arc de longueur R est 1 rad.

longueur de cercle est [pic] Radian : On considère le cercle trigonométrique et la droite [pic] perpendiculaire à la droite [pic] passant par [pic] Pour tout réel [pic] sur la droite, on appelle image de [pic] sur le cercle trigonométrique, le point [pic] obtenu en enroulant cette droite autour du cercle. On définit ainsi un angle orienté [pic] On dit qu’une mesure de cet angle est de [pic] radians. |Degré |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |Radian |[pic] |[pic] |[pic] |[pic]

Algèbre linéaire 1 1/11 A. RAPPELS DE TRIGONOMETRIE ANGLES La mesure d'un angle peut s'exprimer en degrés, en radians, et en grades. Nous nous intéresserons particulièrement aux deux premières unités de mesure. Le degré, noté 1 , est défini comme étant la mesure de l’angle au centre interceptant un arc de cercle de longueur égale à 1 360 de la circonférence du cercle ; 1 correspond donc à 1 360 de rotation complète. L’origine de cette mesure d’angle est ancienne et remonte aux Sumériens (2’700

Quelques notions de base 1. Mesure des angles On peut mesurer les angles en degrés, en grades, en tours ou en radians, la conversion se faisant selon le barème suivant : 360 degrés = 400 grades = 1 tour = 2π radians. Le radian vient naturellement lorsqu'on considère que la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle au centre qui le sous-tend : si l'angle au centre a une mesure ϑ , selon l'unité choisie, on trouvera pour la longueur de l'arc sous-tendu (le rayon étant de longueur R)

2 C –1 –π 2 L’angle au centre kAOB associé à l’arc AB, d’origine A, d’extrémité B et de longueur 1, a pour mesure 1 radian. ■ Les fonctions cosinus et sinus La figure ci-contre montre: 1 – un cercle trigonométrique M(xM = cos x ; yM muni d’un repère orthoyM = sin x) normé; x A – un réel x qui définit l’arc xM 1 O AM, d’origine A et d’extrémité M, et, en radian, l’angle au centre associé à cet arc. • Fonction cosinus La fonction cosinus: x cos x est définie sur . L’image de x, cos x,

circulaires ´ A.1 Rappels de trigonometrie Radians et cercle trigonom´trique e Le radian est une unit´ de mesure d’angle (orient´) e e d´finie par le fait que la mesure d’un angle plat est e π radians. Un angle droit par exemple mesure ±π 2 radians. 5π 6 2π 3 3π 4 π 2 π 3 π 4 π 6 On appelle cercle trigonom´trique le cercle centr´ e e en l’origine de rayon 1. La circonf´rence de ce cercle e mesure 2π. Pour repr´senter un angle de x radians, on e consid`re un arc de cercle de longueur

l’arc orienté IM. On note M(α ). Un point du cercle trigonométrique possède une infinité d’abscisses curvilignes. Elles sont toutes de la forme : M(α + 2kπ) avec kϵ . 1.3- le radian Sur un cercle trigonométrique, la longueur de l’arc orienté IM est égal à la mesure de l’angle géométrique orienté ̂ exprimé en radian. Exemple : Donner l’abscisse curviligne des points , J, ’, J’, A, B, C et D. J C + B A 120° 60° O 45° I’ I 30° D J’ 1.4- Mesure principale

appelle produit scalaire des deux vecteurs A B et AC de E ,   le réel noté: A B . AC       Si AB  0 ou AC  0 Alors AB. AC  0   défini par:     Si non AB. AC  AB  AC  cosAB, AC      , n’est pas orienté, sa mesure en radian est un réel de l’intervalle: 0; Remarque: L’angle  AB , AC    2) Vocabulaire, notation: a) Pour tout vecteur u = XY de E , on note: u la longueur XY u s’appelle la norme du vecteur u b) Pour signifier que l’on a défini un produit scalaire

II- Le radian pour mesurer un arc de cercle La mesure ( en radians d'un arc de cercle [pic]);AB) est le quotient de la longueur l de cet arc par le rayon R du cercle : ( = . Exemple : le périmètre d'un cercle est P = 2 ( R L'arc d'un cercle entier est égal à soit 2( radians. Un demi-cercle a pour mesure ( rad et un quart de cercle rad. Propriété : Pour un cercle de rayon égal à l'unité, la mesure d'un arc de cercle de longueur l est égale à l radians. Remarque :

| | | | |( = ( . N / 30 |(: Vitesse angulaire en radian par seconde (rad/s) | | |N: Fréquence de rotation en tours par minute (tr/mn) | |Vitesse tangentielle