Rotation vectorielle

sigma et des pi, sans le moindre point de suspension (bon sang, je devient prof de Spé !). £   n.¢ 1 pt. ¡ Donnez ensuite la for£   matrice de taille n. 2 pt. ¢ ¡Je vous   £ ¢ 4 pt. ¡Donnez une [♦(1)] Donnez la dimension de l'espace vectoriel des matrices carrées M de taille 2 de trace nulle et vériant T r(A.M ) = 0 avec A= 1 −1 3 1   £ . 3 pt. ¢ ¡ → → → − − − → → − − 3 Soit f linéaire de R dans lui même. On suppose : f ( i + j + k ) = 2. i − j , →

Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1, n]], Tr(Ak ) = 0. Correction [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant f g − g f = f . Montrer que f est nilpotent

ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U et V sont disjoints. e Donner un contrexemple lorsque U et V ne sont pas ouverts. Exercice 2. A ouvert disjoint de B Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel norm´ disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints. e ◦ Exercice 3. U = U . ◦ Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U = U . e Exercice 4. Fronti`re d’un ouvert e Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que la fronti`re

problème On considère un espace vectoriel de dimension , dont on connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée

56 60 61 62 63 65 67 69 72 6 Chapitre 1 Parties convexes d’un espace affine Dans toute cette partie, E sera un expace vectoriel, de dimension finie ou infinie (´vene e tuellement un espace affine). On pourra, lorsque c’est n´cessaire, munir E d’une topologie (m´trique pour simplifier), et on supposera qu’elle est compatible avec la structure d’ese pace vectoriel (i.e. l’addition et la multiplication par un scalaire sont continues). 1.1 1.1.1 D´finition et le th´or`me fondamental e e e

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur

2 ` ALGEBRE Exercice 2.1. Soit E l’espace vectoriel des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres

00715 ] [correction] Soient a ∈ C et f : C → C définie par f (z) = z + a¯. z Former la matrice de l’endomorphisme f du R-espace vectoriel C dans la base (1, i). Déterminer image et noyau de f . Exercice 26 [ 00747 ] [correction] Soit M ∈ Mn (K) une matrice de rang r décomposée par blocs sous la forme M= A C B D Exercice 30 [ 00717 ] [correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1 , e2 , e3 ). Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Soit f ∈ L(E)

Retrouver enfin la valeur de ∆(8X 3 + 2X 2 − 5X + 1) dans B. Exercice 23.12 Soit E = R3 . On note B la base canonique de R3 . On définit F = (x, y, z) ∈ R3 , x + y + z = 0 et G = (x, y, z) ∈ R3 , x = y = z 1. Justifier que F et G sont des sous espaces vectoriels supplémentaires de E . 2. Soit B′ = (u1 , u2 , u3 ) où u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, −1), u3 = (0, 1, −1). Montrer que B′ est une base. −1 3. Calculer PB,B′ , justifier que cette matrice est inversible, puis déterminer PB,B′  −5 3 −3 Exercice

∈ L1 (R). Montrer que f co¨ ıncide presque partout avec 1 sur R que l’on d´terminera. une fonction g de classe C e Exercice 5 - - Troisi`me ann´e e e ˆ Soit f ∈ L1 (Rn ) telle qu’il existe x0 ∈ Rn telle que f (x0 ) = 0. Montrer que l’espace vectoriel n n’est pas dense dans L1 (Rn ), o` τ f (t) = f (t − x). engendr´ par les (τx f ), x ∈ R e u x Exercice 6 - Non-surjectivit´ de la transform´e de Fourier - Troisi`me ann´e e e e e On sait que la transformation de Fourier est une application lin´aire