Sinus hyperbolique

Chapitre 5 Primitives et int´egrales 1 D´efinition et propri´et´e 1.1 D´efinition D´efinition 1.1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F d´erivable sur I et telle que, pour tout r´eel x de I, F 0 (x) = f (x). On a alors le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme 1.1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I, deux d’entre elles diff´erant d’une constante. Il est important de bien connaˆıtre les primitives

Tout d’abord, nous avons les règles simples : Z Z Z (f + g)(x)dx = f (x)dx + g(x)dx + C Z Chapitre 4 af (x)dx = a Z f dx + C, si a est une constante. Ensuite (c’est un premier exemple élémentaire de changement de variables), pour toute R constante a si F (x) = f (x)dx, alors Z Z 1 f (x + a)dx = F (x + a) + C, f (ax)dx = F (ax) + C. a Calcul de primitives Remarque : Savez-vous vérifier ce point ? Faîtes le. Nous avons déjà signalé le résultat central du calcul intégral : pour toute fonction

Si les droites (BC) et (B’C’) sont parall`eles, alors on a : AB’ AC’ B’C’ = = AB AC BC 4.2 Loi des sinus Soit un triangle A, B, C, d’angles α, β et γ respectivement en B, C et A. On note a la longueur BC, b la longueur AC et enfin c la longueur AB. Le¸con 21 : Proportionnalit´e et lin´earit´e 7 4 EXEMPLES Le but est ici de d´emontrer que les cˆot´es d’un triangle sont proportionnels aux sinus des angles oppos´es. On a donc : sin(β) sin(γ) sin(α) = = a b c D´ emonstration : . Tra¸cons la hauteur

LINÉARISATION 1. A QUOI ÇA SERT ? On utilise la linéarisation pour calculer des primitives de fonctions circulaires ou des intégrales faisant intervenir des fonctions circulaires. Par exemple, comment détermine-t-on une primitive1 de la fonction t → cos3 (t) ? La méthode consiste à se ramener à une somme de fonctions dont on connaît la primitive, ici des fonctions du type t → cos(at) et t → sin(at). Pour ce ramener à une écriture sous forme de somme de fonctions circulaires, on va utiliser les formules

Exercice 2 – Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperboliqueSoient et deux fonctions définies sur par : et 1. Montrer que est paire et est impaire. 2. Montrer que 3. Montrer que . 4. Montrer que . 5. Montrer que et . Exercice 2 – Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperboliqueSoient et deux fonctions définies sur par : et 1. Montrer que est paire et est

b48 Exemple : équation de la tangente à la fonction sinus au point a. © T³ France 2008 / Photocopie autorisée Aide-mémoire 15 1.6 Fonctions usuelles Les fonctions trigonométriques et leurs réciproques sont, pour la plupart, accessibles directement au clavier, de même que les fonctions logarithmes et exponentielle. Les fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques se trouvent dans le menu 2 du catalogue (k2) dans la rubrique Hyperbolique, les fonctions trigonométriques et leur réciproque

Exemple : équation de la tangente à la fonction sinus au point a. © T³ France 2008 / Photocopie autorisée Aide-mémoire 15 1.6 Fonctions usuelles Les fonctions trigonométriques et leurs réciproques sont, pour la plupart, accessibles directement au clavier, de même que les fonctions logarithmes et exponentielle. Les fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques se trouvent dans le menu 2 du catalogue (k2) dans la rubrique Hyperbolique, les fonctions trigonométriques et leur réciproque

COMPLEXE.PUISSANCE | Renvoie un nombre complexe élevé à une puissance entière. | COMPLEXE.PRODUIT | Renvoie le produit de deux nombres complexes. | COMPLEXE.REEL | Renvoie le coefficient réel d'un nombre complexe. | COMPLEXE.SIN | Renvoie le sinus d'un nombre complexe. | COMPLEXE.RACINE | Renvoie la racine carrée d'un nombre complexe. | COMPLEXE.DIFFERENCE | Renvoie la différence entre deux nombres complexes. | COMPLEXE.SOMME | Renvoie la somme de plusieurs nombres complexes. | OCTBIN

Donc si on remplace par , sera inchangé si est impair, changé en son opposé si est impair. Dans le premier cas, la linéarisation ne contiendra que des cosinus, dans le second cas, elle ne contiendra que des sinus. La même technique s'utilise aussi pour les cosinus et sinus hyperboliques. Comme autre application de l'exponentielle complexe, signalons la possibilité d'intégrer des expressions du type ou , en les exprimant comme parties réelles ou imaginaires d'exponentielles complexes, que

complexe. COMPLEXE.PUISSANCE Renvoie un nombre complexe élevé à une puissance entière. COMPLEXE.PRODUIT Renvoie le produit de plusieurs nombres complexes. COMPLEXE.REEL Renvoie le coefficient réel d’un nombre complexe. COMPLEXE.SIN Renvoie le sinus d’un nombre complexe. COMPLEXE.RACINE Renvoie la racine carrée d’un nombre complexe. COMPLEXE.DIFFERENCE Renvoie la différence entre deux nombres complexes. COMPLEXE.SOMME Renvoie la somme de plusieurs nombres complexes. OCTBIN Convertit un