Sinus hyperbolique

Synthèse des démonstrations mathématiques Examen de Rheto décembre 2012 1)Analyse : 1. Prop1 : Si f et g sont des fonctions dérivables sur l’intervalle i alors : fxg'x.dx=fxgx-f'xgx.dx Dem : (fx.g(x))'=f'(x)g(x)+fxg'(x) Donc f'x.gx.+fx.g'x.dx=fx.gx+c Donc f'x.gx.dx+fx.g'x=fx.gx+c =>fx.g'x.dx=fx.gx-f'x.gx.dx cqfd. -Théorème de la moyenne 2. Def1 : theorème moyenne : Soit f une fonction continue sur [a,b] la moyenne de la fonction f sur cet interval est le nombre réel m donné par :

Chapitre 1 Intégrale sur [a, b] de R (a 0 sur [a, b] ; alors il existe c ∈ [a, b] tel que : b b f (t)g(t)dt = g(c) a a f (t)dt Démonstration : puisque g est continue sur [a, b] alors il existe m et M dans R tel que g([a, b]) = [m, M ] avec m = min{g(x)/x ∈ [a, b]} et M = max{g(x)/x ∈ [a, b]}. Donc pour pour tout x ∈ [a, b] on a m ≤ g(x) ≤ M et par suite on a : b b b m a f (t)dt ≤ a f (t)g(t)dt ≤ M b f (t)dt. a f (t)g(t)dt Et par conséquence a b ∈ [m, M

x(s) = T ˆ πsT La fonction sin(πz) sinc(z) = πz est appelée sinus cardinal et est notée: sinc(z) (11) LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 18/6 Signal rectangulaire Creneau 1.5 1 0.5 0 −3 −2 −1 0 1 2 3 Figure 8: Signal rectangulaire LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 19/6 Sinus Cardinal 2 sin(3.141*t)/(3.141*t) 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -6 -4 -2 0 2 4 6 Figure 9: Sinus cardinal LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 20/6 Théorème

Puisque, pour tout réel x, f(x) ∈] − 1, 1[, g est bien définie sur R. Soit x ∈ R. Puisque, tanh est solution (d’après 12.-), tanh(g(2x)) = f(2x) = 2tanh(g(x)) 2f(x) = = tanh(2g(x)). 2 1 + (f(x)) 1 + (tanh(g(x)))2 En reprenant l’argument tangente hyperbolique des deux membres, on a montré que : ∀x ∈ R, g(2x) = 2g(x). 20.- f est dérivable en 0 par hypothèse et Artanh est dérivable sur R (d’après 4.-) et donc en f(0). On en déduit que g = Artanh ◦ f est dérivable en 0. g est dérivable en 0. 21.- On a

. x0 ‫ل‬ f ‫ی ت وا‬ ‫ا رس‬ ‫ا‬ ‫بعت‬ ‫ا‬ g  g ( x ) = f ( x ) , x ≠ x0    g ( x0 ) = l  (I : +∞ − ∞ ∞×0 . lim f ( x ) = l x0 (7 f ( x) − l ≤ g ( x) ∞ ∞ 0 : 0 +∞ + a = +∞ −∞ + a = −∞ +∞ + ∞ = +∞ −∞ − ∞ = −∞ +∞ − ∞ (1 (2 x0 x0 (a (b (c (d lim g ( x ) = 0 : a×∞ = ∞ ∞×∞ = ∞ 0×∞ lim g ( x ) = +∞ x0 x0 x0 f ( x) ≤ g ( x) lim f ( x ) = +∞ ( a ≠ 0) lim f ( x ) = −∞ x0 x0 f ( x) ≤ g ( x) (a ∈ ») lim g ( x

Les vecteurs 4 Page 4 2) Le cosinus de cet angle aigu. 2) 2) 2) a. 1) Le sinus de cet angle aigu. 3) La tangente de cet angle aigu. b. 1) c. 1) d. 1) 4,76 cm 7,09 cm 75,96° 3,1 cm 8,89 cm 79,11° Page 5 Réactivation 2 a. Il s’agit d’un triangle scalène et obtusangle. b. Loi des cosinus : (m ND )2 c. À 124,5 km. m ND m PN sin D m PD sin N (m PN )2 (m PD )2 2(m PN )(m PD ) cos P d. Loi des sinus : sin P e. f. 9,58° 24,58° Mise à jour Page 8 1. a) c) 2. a) m c) m e)

CORRECTION DU DEVOIR MATH 1.4 EXERCICE 1 1.a) La fonction Arctan est définie sur R. Par conséquent f l’est aussi. b) lim f ( x) x x lim 2 Arc tan( x 2 1 x) 1 x2 x2 x lim 2 Arc tan 1 x2 1 x ( x 2 1 x) ( x 2 1 x) ( x 2 1 x) lim 2 Arc tan X X 0 = xlim 2 Arc tan x2 1 x x lim 2 Arc tan 0 On en déduit donc que la courbe de f admet comme asymptote l’axe des abscisses. x lim f ( x) x lim 2 Arc tan( x 2 1 x) X lim 2 Arc tan X 2 2 . On en

ion Démontrer le calcul de cos(a-b) | Définir les propriétés immédiates des logarithmes en base a | Démontrer la formule de la dérivée de arcsin | Trouvez les racine de la dérivée de sin x + cos 2x . | Démontrer la formule de la dérivée de arccos | Faites un tableau du type : | arctg | arccotg | définition | | | schéma | | | dérivée | | | | Démontrer la formule de la dérivée de arctg | Quelle est la formule de tg (a+b) : | Démontrer la formule de la dérivée de arccotg | Ѵ5=

Int´gration e 1 D´finition de l’int´grale e e D´finition 1 F est une primitive de f sur l’intervalle I si F est d´rivable sur I et si e e ∀x ∈ I : F (x) = f (x) Th´or`me 1 Toute fonction d´rivable sur un intervalle I admet des primitives sur I. e e e Th´or`me 2 Si F et G sont deux primitives de f sur l’intervalle I, il existe une constante C telle que e e ∀x ∈ I : F (x) = G (x) + C D´finition 2 Soit f une fonction d´rivable sur [a; b] et soit F une primitive de f sur [a; b] . e

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Enoncés Exercice 8 [ 01963 ] [correction] Pour m, n ∈ N, calculer 2π 1 Intégration Calcul de primitives Exercice 1 [ 01960 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : 2 a) tet dtb) ln t dtc) t dt t t ln Exercice 2 [ 00279 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : a) cos t sin t dtb) tan t dtc) cos3 t dt Im,n = 0 cos(mt) cos(nt) dt Exercice 9 Centrale PC [ 01547 ] [correction] Démontrer que, pour tout