Sous-espace vectoriel

d’endomorphisme cyclique dont la définition est donnée ci-dessous. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie n ∈ N∗. On rappelle que pour tout entier p ∈ N∗, on note : f 0 = IdE , f 1 = f , f 2 = f ◦ f , f p = f ◦ · · · ◦ f���������������� p fois . On dit que l’endomorphisme f est cyclique s’il existe un vecteur v ∈ E tel que la famille ( v, f (v), . . . , f n−1(v) ) soit une base de l’espace vectoriel E . Cet exercice est composé de quatre parties indépendantes. Les trois premières sont

1. Sommaire[masquer] * 1 Perpendicularité en géométrie plane * 2 Perpendicularité dans l'espace * 2.1 Droites perpendiculaires * 2.2 Droite perpendiculaire à un plan * 2.3 Plans perpendiculaires * 2.4 Notion générale de sous-espaces perpendiculaires en géométrie euclidienne * 3 Voir aussi * 3.1 Article connexe | 2. Perpendicularité en géométrie plane[modifier] Le segment PQ en bleu est perpendiculaire au segment AB : 1. prendre un compas, 2. piquer la pointe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 G´om´trie de l’espace e e 6.1 Modes de rep´rage dans l’espace e 6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . 6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . 6.4 D´terminant, produit mixte . . . e 6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . 6.6 Sph`res . . . . . . . . . . . . . . e 7 Courbes param´tr´es e e 7.1 Fonctions a valeurs dans R2 . . . . . . . . . ` 7.2 Courbes param´tr´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 53 55 57 60 6 G´om´trie de l’espace e e 6.1 Modes de rep´rage dans l’espace e 6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . 6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . 6.4 D´terminant, produit mixte . . . e 6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . 6.6 Sph`res . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 53 55 57 60 6 G´om´trie de l’espace e e 6.1 Modes de rep´rage dans l’espace e 6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . 6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . 6.4 D´terminant, produit mixte . . . e 6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . 6.6 Sph`res . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

suffit de remarquer que A2 − 3A + 2I3 = 0. Remplaçant dans l’expression de la division euclidienne, on trouve An = (2n − 1)A + (2 − 2n )I3 . Rang Exercice 8 - Explicite... - L1/Math Sup On utilise la méthode du pivot de Gauss pour mettre la matrice sous forme échelonnée. 1. On a     1 2 3   rg(A) = rg  0 −1 −2  L2 − 2L1 0 −2 −4 L3 − 3L1 1 2 3   = rg  0 −1 −2  . 0 0 0 L3 − 2L2 Le rang de la matrice est donc égal à 2. 2. On a     1 1 1   rg(B) = rg  0 1 3  L2 − L1 0 2 8 L3

G´om´trie vectorielle algorithmique e e ou La g´om´trie vectorielle par l’informatique e e Comment r´soudre les exercices de g´om´trie vectorielle e e e sans faire les dessins ? Jean-Paul JURZAK L’auteur autorise la libre diffusion de ce travail, ` des fins non-commerciales. a Pr´face e Ce travail est destin´ ` un large public d’enseignants, d’´tudiants et aussi d’informaticiens. Son but ea e est d’aborder la g´om´trie vectorielle sous un aspect nouveau permettant de r´soudre la plupart

LTEX et de la chaˆ ee c a ıne ´ditoriale Polytex. e A LTEX est certainement le traitement de texte le plus performant quand il s’agit d’´crire des math´matiques. On peut se le procurer gratuitement par l’interm´diaire e e e de diverses distributions. Sous Windows, c’est la distribution MikTEX qui est la mieux adapt´e en vue d’une utilisation conjointe avec la chaˆ ´ditoriale Polytex. On troue ıne e vera toutes les informations n´cessaires ` propos de cette distribution ` l’URL : e a a http ://www

Pierre-­‐Marie  Gandoin  (PMG)   §  Mihaela  Scuturici  (MS)   Laboratoire  LIRIS   Bât  C,  Bron   {prenom.nom}@univ-­‐lyon2.fr   Plan   §  23/01  (LT)  :  Introduction  /  Images&  videos  numériques  /  Espace  de   représentation  des  couleurs  /  Formats  /  Analyse  et  traitement   d'images  /  Intro  à  la  bibliothèqueOpenCV  /  Ouverture,   visualisation,  accès  &  modification  pixels   §  30/01

R -espace vectoriel e B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de E et u l’endomorphisme de E dont la matrice relativement ` a la base B est A. 1. V´ rifier que u3 + u = 0 et que u n’est pas l’endomorphisme nul. e 2. (a) On suppose que u est injectif ; montrer que u2 = −idE et trouver une contradiction. (b) Justifier alors que dim Ker u ∈ {1, 2}. 3. Montrer que E est somme directe des sous-espaces vectoriels Ker u et Ker (u2 + idE ). Quelles sont alors les valeurs possibles de la dimension du sous-espace