Sous-espace vectoriel

L’intérêt pour l’Analyse en Composantes Indépendantes (ICA) n’a cessé de grandir et ce depuis les travaux précurseurs de C. Jutten et al. [10]. Nombre d’approches ont vu le jour, chacune visant `a traduire la notion d’indépendance statistique sous une forme algorithmiquement exploitable [1,3,5,8,11]. Parmi elles, certaines ont établi un lien entre l’ICA et la décomposition canonique de tableaux cumulants d’ordre supérieur, proposant alors de nouveaux outils de décomposition tensorielle [1, 3, 5]

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali TD 07 Formes quadratiques K = R ou C. E un K-espace vectoriel normé. Exercice 1: Soit q : E → E. 1: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(−x) = q(x) et (x, y) → q(x + y) − q(x) − q(y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). 2: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(0) = 0 et (x, y) → q(x + y) − q(x − y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas

........................................................................ 5 4. Les produits vectoriels............................................................................................................................ 5 Le produit interne............................................................................................................................................ 6 Le produit vectoriel ..........................................................................................

naturel non nul. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K et Ip la matrice unité de Mp (K). On pourra confondre M1 (K) et K. Une matrice N de Mp (K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1 , . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1 , . . . , Mk . Si E est un K-espace vectoriel, on note idE l’application identité sur

2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes, structures alg´ebriques page 23 4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C page 33 5 L’anneau des entiers Z page 46 6 L’anneau des polynˆ omes page 53 7 Matrices page 65 8 Espaces vectoriels page 74 9 Applications lin´eaires page 84 10 Introduction aux d´eterminants page 90 11 G´eom´etrie dans le plan et l’espace page 96 Appendice : R´esum´e d’alg`ebre lin´eaire page 105 12 Suites de nombres r´eels ou complexes page 109

A-t-on an an+1 ? Trouver un ´quivalent de an en +∞ e CENTRALE 8 Pour n ∈ N∗ on pose un = +∞ x coshn (x) dx 0 1- Justifier l’existence de (un )n∈N∗ e e 2- Etudier la convergence de la suite et pr´ciser ´ventuellement sa limite. e 3- Calculer u2 sous forme de somme de s´ries 4- a- Calculer un pour n ∈ [|2; 20|] ` l’aide de Maple. a b- trouver une relation de r´currence entre un et un−2 e p 5- n = 2p et p 2. On pose Qp = k=2 2k−1 2k−2 Calculer Qp u2p − Qp−1 u2p−2 6- En d´duire que

l’image (resp. du noyau)       0 1 −1 1 2 4       resp. 2 2 0 1 1 3 4 est form´ee par les vecteurs   −1 1   1 0 LM270 UPMC 2011–2012 Corrig´e de la feuille 1 Exercice 5 (∗). Soient V un k-espace vectoriel, E et F deux sous-espaces vectoriels, de dimension p et q respectivement. Soit B0 = (v1 , . . . , vr ) une base de E∩F , on la compl`ete en une base E = (e1 , . . . , ep−r , v1 , . . . , vr ) de E et en une base F = (v1 , . . . , vr , f1 , . . . , fq−r ) de F

est amené à prendre. Formule sommatoire de Poisson L’objectif de ce problème est d’établir sous quelles conditions la formule sommatoire de Poisson est vraie et d’en étudier certaines applications. Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur R et à valeurs dans C. On note L l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux et intégrables sur R, et L ∗ l’espace vectoriel des fonctions continues f telles qu’il existe α > 1 pour lequel la fonction x → |x|α f (x) est

Introduction et pr´sentation. e 1 Le langage math´matique e 2 Ensembles et applications 3 Groupes, structures alg´briques e 4 Les corps des r´els R et le corps des complexes C e 5 L’anneau des entiers Z 6 L’anneau des polynˆmes o 7 Matrices 8 Espaces vectoriels 9 Applications lin´aires e 10 Introduction aux d´terminants e 11 G´om´trie dans le plan et l’espace e e Appendice : R´sum´ d’alg`bre lin´aire e e e e 12 Suites de nombres r´els ou complexes e 13 Limites et continuit´ e 14 D´riv´es et formule

image .............................................................................................. 2 I-1-2 différentes présentations............................................................................................ 2 I-1 les images vectorielles............................................................................................... 3 II- Logiciel Photoshop ....................................................................................................... 4 IIIOutils de Photoshop