Suite aléatoire

Dénombrements (1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles (4) TCL (5) Statistiques (6) Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Frédéric Naud, département de Mathématiques Université d’Avignon Fichier dispo sur http://fredericnaud.perso.sfr.fr/ Frédéric Naud, département de Mathématiques Probabilités et Statistiques L1 Introduction Dénombrements (1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles (4) TCL (5) Statistiques

Calculer la probabilité de tirer une boule blanche (on pourra faire un arbre.). Fichier Word  Exercice n°1. On lance deux dés non truqués. X est la variable aléatoire égale au plus grand des deux numéros obtenus. a. A l’aide d’un tableau à double entré déterminer toutes les possibilités et en déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire X. b. Calculer E(X) et l'écart-type. c. Tracer la fonction de répartition. Exercice n°2 Une entreprise produisant des pellicules dispose de

avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée. Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que : • 92 % des jouets sont sans défaut de finition ; • parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ; • 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. On prend au

deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 45 46 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 49 49 52 54 56 57 58 59 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2

Je remercie aussi Mme Cédia Harnais pour son aide précieuse concernant l’écriture de ce mémoire avec LaTex. 1 Table des matières I II 1 Introduction 4 Théorie 6 Rappels de probabilités 1.1 Espace probabilisé . . . . . . . . 1.2 Variable aléatoire réelle . . . . . 1.3 Paramètres d’une loi . . . . . . . 1.3.1 Paramètres de position . . 1.3.2 Paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 12 12 13 2 Estimateur-estimation 2.1 Rappels

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires. Elle est en lien avec de nombreux objets mathématiques dont le mouvement brownien, le bruit blanc gaussien ou d'autres lois de probabilité. Elle est également appelée loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss des noms de Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes

probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. 2) On effectue 9 forages. a. Quelle hypothèse doit-on formuler pour que la variable aléatoire correspondant au nombre de forages qui ont conduit à une nappe de pétrole suive une loi binomiale ? b. Sous cette hypothèse, calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de pétrole. En donner la valeur à 10 près. Exercice

Baccalauréat S E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 5 points Partie A Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun + b (a et b réels non nuls tels que a = 1). On pose, pour tout entier naturel n, v n = un − b . 1−a 1. Démontrer que, la suite (v n ) est géométrique de raison a. 2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un ) a pour b limite . 1−a Partie B En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant

usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 Quelques motivations 1.1 La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/ 0 1/2 0 1/2 N  P = E  1/2 0 1/2 0   S  0 1/2 0 1/2

LOI BINOMIALES ET APPLICATIONS I) EPREUVE ET SCHEMA DE BERNOULLI 1) Epreuve de Bernoulli DEFINITION : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelé succès ( ? ), l’autre échec ( ?̅ ). EXEMPLES : • On lance une pièce de monnaie équilibrée ou non. On appelle par exemple succès, l’issue « pile » et échec l’issue « face ». • On lance un dé. On peut décider d’appeler succès la sortie du 6 et échec la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5. 2) Loi de Bernoulli