Suite arithmétique

• Une suite croissante et non majorée diverge vers +1 • Une suite décroissante et non minorée diverge vers -1 Démonstration : Démontrons le premier point. La méthode est analogue pour le second point. Soit (un) une suite croissante non majorée, et A un nombre réel quelconque. La suite n’est pas majorée, donc il existe un rang k tel que uk > A Or, la suite (un) est croissante, donc pour tout n > k, on a : un > uk Donc pour tout entier n > k, on a un > A Conclusion : La suite (un) diverge

VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. PARTIE A Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par un = (−1)n . 1. La suite (un ) est bornée. 2. La suite (un ) converge. un converge. n 4. Toute suite (v n ) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0. 3. La suite de terme général E XERCICE 4 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = 6 − 5 . x +1

Progression suite géométrique On appelle progression géométrique une suite de nombres tel que chacun est égal au précédent multiplié par un même nombre. Par exemple, qu' on multiplie 3 par 2, ce qui donne 6; puis 6 par par 2 ce qui donne 12; puis 12 par 2, ce qui donne 24 etc. La suite 3; 6; 12; 24... est une progression par quotient. Le nombre constant par lequel on multiplie chaque terme par avoir le suivant est la raison de la progression. Cette progression est dite progression par quotient

− 2xy ∂f . (x, y) = ∂y (1 + x2 )(1 + y2 )2 Par suite, pour (x, y) ∈]0, 1[2 ,   ∂f (x, y) = 0   ∂x ⇔  ∂f  (x, y) = 0  ∂y 1 − x2 − 2xy = 0 ⇔ 1 − y2 − 2xy = 0 y2 = x2 ⇔ 1 − x2 − 2xy = 0 y=x 1 − 3x2 = 0 Ainsi, si f admet un maximum dans ]0, 1[2 , ce maximum est √ 2/ 3 1 1 = f √ ,√ 3 3 1 1+ 3 1 ⇔x=y= √ . 3 2 √ 2 9 3 3 =√ × = . 8 3 16 c. Soient A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1) et D = (1, 1). 1 − x2 x d x = . Or . Par suite, la fonction x → f(x, 0) est croissante • Pour

⎝ n ⎠ ⎛ (−1) n u n = ln ⎜1 + n ⎝ ⎞ ⎟. ⎠ ⎛1 ⎞ , u n = sin ⎜ + n ⎟π . ⎝n ⎠ n , u n = sin(π n 2 + 1). (−1) n . α n +1 1. Montrer que la série numérique de terme général u n est convergente et que: f/ Soient α > 0 et la suite numérique u n définie par u n = ∑ un = n ≥0 1 1 ∫ 1 + tα . 0 n En déduire : (-1) ∑ n + 1 = ln2, n ≥0 (-1) n π ∑ 2n + 1 = 4 , n ≥0 π (-1) n 1 ∑ 3n + 1 = 3 (ln 2 + 3 ). n ≥0 Commentaire : Cet exercice a pour objectif

raison de la suite. • Pour tout n : Un+1 = b ·Un ; Un = bn ·U0 ; Un = bn−p ·U p Un+1 • Si pour tout n, Un = constante alors (Un ) est une suite géométrique de raison égale à la constante. 1 − bn−p+1 1 − bnb de termes • U p +U p+1 + · · · +Un = U p × = 1er terme × (pour b = 1) 1−b 1−b • Pour étudier le sens de variation, on calcule Un+1 −Un et on factorise. (remarque : si b < 0 la suite est ni croissante, ni décroissante - il est donc inutile de faire le calcul) Exemple : Soit (Un ) la suite géométrique

les suites LMD 1`re ann´e, Unit´s LM115 et LM 151, e e e ann´e 2005-06 e Henri Skoda Plan du cours sur les suites. 0) Axiomes de d´finition de IR. e 1) D´finition d’une suite. e 2) D´finition de la convergence d’une suite. e 3) Propri´t´s ´l´mentaires: unicit´ de la limite,.... e e ee e 4) Th´or`me des ”gendarmes”. e e 5) Toute suite convergente est born´e. e 6) Suites monotones born´es. e 7) Exemple des suites r´currentes: un+1 = f (un ), o` f est croissante. e u 8) Limites infinies. 9) Op´rations sur

Int¶egration, Hermann, collection M¶ethodes, 1997. [6] Rudin, W. Real and complex analysis, McGraw-Hill, New-York, 1987. 2 Chapitre 1 Pr¶eliminaires et Rappels Dans tout ce chapitre X d¶esigne un ensemble quelconque. 1.1 La droite achev¶ee R Une suite r¶eelle n'a pas toujours de valeur d'adh¶erence. Ceci est du au fait que R; j:j n'est pas compact. En ajoutant deux ¶el¶ements µa R on peut en faire un espace compact. D¶e¯nition 1.1.1 On appelle droite achev¶ee l'espace topologique not¶e R obtenu

2, où p est un entier (d'après l'hypothèse de récurrence). = 6p Donc 2k+1 est divisible par 3. L'hérédité est vérifiée et pourtant la propriété n'est jamais vraie. Méthode : Mener un raisonnement par récurrence On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par et . Démontrer par récurrence que : . Initialisation : et . La propriété est donc vraie pour n = 0. Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit

naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique. Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables sont utilisées pour résoudre des équations de façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, … Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIXe siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) – ci-contre. I. Définition et représentation graphique 1) Définition d'une suite numérique Exemple d'introduction :