Suite de Cauchy

g´ rer est enorme et rien que le stockage et la gestion e ˆ efficaces posent des d´ fis consid´ rables. Et cela d’autant plus que les requˆ tes doivent etre trait´ es en e e e e temps r´ el : on ne veut pas la r´ ponse dans une semaine, mais tout de suite. e e ` ´ Une impl´ mentation op´ rationnelle a cette echelle doit donc employer la force brute d’un r´ seau e e e puissant, afin de r´ partir les donn´ es et les tˆ ches sur plusieurs ordinateurs travaillant en parall` le. e e a e Plus important encore

généralement, le produit de 2 sommes de n carrés est une somme de .... carrés. 1 EXERCICES MPSI A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME R. FERRÉOL 13/14 → → (c) En déduire, pour − u = (a1 , a2 , ..., an ) et − v = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Rn l’inégalité de Cauchy-Schwarz : n n n a2k k=1 ak bk k=1 b2k k=1 → → A quelle CNS portant sur − u et − v a-t-on égalité entre les deux membres de cette égalité ? 6. Inégalité entre écart-type et écart moyen. n (a) Montrer que si n ak = 0, alors k=1 k=1 k=1

Graphe de la fonction de Heaviside 2. La fonction signe (voir Figure 15)   −1 x→ 0   1 f: R y 1 −2 si x < 0 si x = 0 si x > 0 y = f (x) −1 1 2 x −1 Figure 15 – Graphe de la fonction signe 3. Comme on l’a vu dans l’introduction, une suite de nombres r´eels (un )n∈N peut ˆetre repr´esent´ee par une fonction en escaliers : on d´efinit la fonction u correspondante sur R+ par u(x) = un pour tout x ∈ [n, n + 1[. Fonctions affines par morceaux Une fonction f d´efinie sur un segment I = [a

L’assertion y ∈ f ( i∈I Ai ) signifie ∃x ∈ ∪i∈I Ai tel que y = f (x), i.e. ∃i ∈ I, ∃x ∈ Ai , y = f (x) ⇐⇒ ∃i ∈ I, y ∈ f (Ai ) ⇐⇒ y ∈ ∪i∈I f (Ai ). c. Remarquons que A ⊂ A ⊂ X =⇒ f (A) ⊂ f (A ). Pour tout j ∈ I, on a donc f ( i∈I Ai ) ⊂ f (Aj ) et par suite f ( i∈I Ai ) ⊂ i∈I f (Ai ). Si y ∈ i∈I f (Ai ), alors ∀i ∈ I, ∃xi ∈ Ai , y = f (xi ), e e ce qui implique que pour i, j ∈ I, f (xi ) = f (xj ). L’injectivit´ de f donne par cons´quent e pour i, j ∈ I, xi = xj , et donc y = f (x) avec x ∈ ∩i∈I Ai

formule explicite : f(x) = √ x2 − 3 cos x – Abstraitement : π(x) est le nombre de nombres premiers compris entre 0 et x. 2.2 Limite d’une fonction en un point Soit D une partie de R, et soit x0 ∈ R. On dit que x0 est adhérent à D s’il existe une suite d’éléments de D qui converge vers x0. On note D l’ensemble des points adhérents à D. Tout point de D est adhérent à D, c’est-à-dire que D ⊆ D. En général, D est plus grand que D. Exemples. a) Si D = [0, 1[, alors D = [0, 1]. b) Si D =]0, 1[∪]1

personne peut satisfaire son estime en étant reconnue comme un bon chasseur par ses pairs et une autre en possédant du pouvoir. En conclusion, derrière chaque motivation ou chaque objet de désir se cache un besoin fondamental. Maslow découvrit par la suite que les besoins s'inscrivaient dans le cadre d'une hiérarchie. Tous les besoins sont continuellement présents, mais certains se font plus sentir que d'autres à un moment donné. Par exemple, une personne démunie de tout est capable de mettre en péril

peuvent constituer des « mini-projets » et être poursuivis par des calculs sur ordinateur (il est fait référence dans quelques problèmes à des prolongements sous Maple). Le chapitre 1 rappelle et présente des notions qui seront utilisées dans la suite de l’ouvrage. La distribution de Dirac y est exposée selon l’approche « phénoménologique » usuelle pour les physiciens qui permet une utilisation simple et extensive. L’étude plus rigoureuse des distributions fait l’objet du chapitre 5 (Distributions)

points du président Wilson ". A Versailles, en 1919, il s'efforce de faire appliquer ses principes, mais est désavoué par le Congrès Américain. Dès lors les Etats-Unis ne ratifient pas les traités de paix. Phillippe pétain: né le 24 avril 1856 à Cauchy-à-la-Tour (Pas-de-Calais) et mort le 23 juillet 1951 à Port-Joinville, sur L'Île-d'Yeu, est un militaire, diplomate, homme politique, et homme d'État français. Chef militaire à l'action décisive au cours de la Première Guerre mondiale, Pétain est

une norme sur W . 6. Dans cette question, on va prouver que W , muni de la norme N , est un espace de Banach. Pour cela, on consid`re (fn ) une suite de Cauchy de W pour cette norme. e (a) Montrer l’existence de f ∈ L1 (R) et de g ∈ L1 (R) tels que fn − f ˆ fn − g 1 → 0. ˆ (b) Montrer que f = g presque partout. 1 → 0 et (c) En d´duire que la suite (fn ) converge dans (W, N ), puis que (W, N ) est un espace de e Banach. http://www.bibmath.net 3 Exercices - Transformation de Fourier

Laurent Louise, Cauchy Flora, Berthon Candice, Destombe Julieexposé de 20 minutesLes Événements d’Algérie de 1945 à 1962INTRO : Dans un contexte d’après Seconde Guerre Mondiale, les tensions géopolitiques mondiales sont à leurs apogées. La rivalité américano soviétique prend le pas sur les relations internationales et le monde entre dans une décolonisation progressive. Un vent d’indépendance souffle sur le monde, de nombreuses colonies commencent à rêver de leur liberté vis-à-vis des pays colonisateurs