Suite de Cauchy

convenables de a, b, α, β, qu’il est possible que (P) n’admette pas de solutions, ou qu’il en admette une infinit´. e (2) En citant avec pr´cision le th´or`me de Cauchy adapt´ ` l’´quation diff´rentielle du probl`me (P), e e e e a e e e montrer que ker D est un sous-espace vectoriel de E de dimension deux et que D est surjective. Dans toute la suite du probl`me, on suppose que la e fonction q est positive ou nulle sur [a, b] Deuxi`me Partie e On se propose de d´montrer que P admet une et une seule solution

EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 3 MP Partie 0. Un exemple. 1. On a M = diag(1, 2, . . . , n). Soit alors A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (C). La matrice AM est la matrice (jai,j )1≤i,j≤n et la matrice MA est la matrice (iai,j )1≤i,j≤n . Par suite, AM = MA ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , iai,j = jai,j ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , (i − j)ai,j = 0 ⇔ ∀i = j, ai,j = 0. On a montré que ⇔ A ∈ Dn (C). C(M) = Dn (C). 2. Donc immédiatement, dim(C(M)) = n. Partie I. Commutant d’un endomorphisme

élément k de H tel que α(k)=h. D'où, hα(z) = = = = = α(k)α(z) α(kz) α(zk) car z appartient a Z(H) ` α(z)α(k) α(z)h. α(z) appartient à Z(G). Z(H) est donc stable par α. 2)Soit p un nombre premier divisant l'ordre de H. D'après le Théorème de Cauchy, H possède un élément h d'ordre p. 3)a)Soit x un élément de H diérent de 1. Puisque G opère transitivement sur H\{1}, il existe un élément g de G tel que g.h=x (h est diérent de 1 car d'ordre p>1). Soit ϕ l'homomorphisme de G dans Aut(G) associé

Un des tests de dépistage n’était pas normal chez votre enfant. L’augmentation de la 17OH progestérone a fait suspecter une anomalie de sécrétion des glandes surrénales. Le diagnostic d’hyperplasie congénitale des surrénales a été confirmé par la suite. La forme dite “cryptique” n’entraîne que peu de signes chez l’enfant et se révèle à l’âge adulte, notamment chez la femme par un hirsutisme, des troubles des règles, voire une stérilité. Le traitement : Une prise quoTidienne des hormones manquanTes

en déduire un majorant de ?? . ? 1 1 b) Montrer que ln( ?? ) ≥ ?−1 ∫1 ? ln(1 + ?)? ??. ? 1 c) Calculer ??? ∫1 ? ln(1 + ?)? ??. , puis déduire ?? . Exercice 2 : Soit ?: [0,1] → ℝ de classe ? 1 telle que ?(1) = 0 1) En utilisant l’inégalité de Cauchy Schwarz, montrer que 1 2 2 (?(?)) ≤ (1 − ?) ∫(? ′ (?)) ??. 0 2) En déduire que 1 1 1 2 ∫(?(?)) ?? ≤ ∫(? ′ (?)) ??. 2 2 0 0 3) Dans quel cas a-t-on l’égalité dans (0.1) Exercice 3 : ?⁄ ? 4 Soit ? ∈ ℕ∗ et ?? = ∫0 √tan(?)?? 1) Montrer que

sinn xdx, 0 pour n ∈ N. 3 http://www.bibmath.net ´ Exercices - Integration - Niveau 1 : ´nonc´ e e 1. Montrer que la suite (In ) est d´croissante. e 2. Montrer que la suite (In ) est strictement d´croissante. e 3. Soit ε ∈]0, π/2[. (a) Montrer que In ≤ π 2 sinn π 2 − ε + ε. (b) En d´duire (proprement !) que (In ) converge vers 0. e Dans la suite, on va chercher ` d´terminer un ´quivalent de In au voisinage de +∞. a e e 4. Etablir que, pour tout n ∈ N, on a : (n + 2)In+2 =

y1 ] y2 − y0 f [y0 , y1 , ..., yk+1 ] = f [y1 , y2 , ..., yk+1 ] − f [y0 , y1 , ..., yk ] yk+1 − y0 La quantité f [y0 , y1 , ..., yk ] ainsi calculée est appelée “k-ème différence divisée de f aux points y0 , y1 , ..., yk ”. 12 A partir d’une suite particulière de valeurs deux à deux distinctes {xi }, on peut construire ainsi une “Table des Différences Divisées” comme suit : xi f [.] f [., .] f [., ., .] f [., ., ., .] x0 x1 x2 x3 f [x0 ] f [x0 , x1 ] f [x1 ] f [x1 , x2 ] f [x2 ] f [x2 , x3

mˆeme de faire connaˆıtre les propri´et´es des nombres r´eels. Nous les caract´erisons par un syst`eme d’axiomes qui expriment quelques propri´et´es fondamentales dont d´ecoulent toutes les autres propri´et´es et finalement toute l’Analyse. Pour la suite nous supposons connu le langage de la th´eorie des ensembles. Les nombres r´eels forment un ensemble not´e par IR et muni de deux op´erations internes + : IR × IR → IR et · : IR × IR → IR, appel´ees addition et multiplication, ainsi que

||f ||L1 Preuve Continuité de f̂ : On utilise le théorème de continuité sous signe intégrale, nous avons |e−2πixξf (x)| ≤ |f (x)| x 7→ e−2πixξf (x) est majoré par f qui est dans L1(Rn). La fonction ξ 7→ e−2πixξf (x) est continue par rapport à ξ. Par suite ξ 7→ f̂ (ξ) = ∫ Rn e−2πixξf (x)dx est continue. 7/58Transformée de Fourier Transformée de Fourier dans L1(Rn) Proposition Soit f ∈ L1(Rn) une fonction intégrable, alors la transformée de fourier de f est une fonction continue sur Rn, bornée, et nous

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 La loi uniforme sur [0, 1]. La loi uniforme sur [a, b]. La loi normale ou de Laplace-Gauss. La loi Log-normale. La loi exponentielle. La premi`re loi de Laplace. La loi de Cauchy. La loi gamma. La loi e bˆta. Les lois arcsinus. Compl´ments et exercices. e e e CHAPITRE 15. Lois de probabilit´ de fonctions de variables al´atoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .