Suite de Cauchy

avec an = 0 scindé de racines x1 , . . . , xn , soit k ∈ [[1, n]], k xij = (−1)k 1≤i1 0, ∀a > 1, nα = o(an ) Comparaison exponentielle-factorielle : an = o(n!) Comparaison factorielle-nn : n! = o(nn ) 2.1.6 Inégalités Inégalité de Cauchy-Schwarz : Soit n ∈ N∗ , soient a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R, n n n ak b k ≤ k=1 k=1 a2 k k=1 b2 k Inégalité de Minkowski : Soit n ∈ N∗ , soient a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R, n n n (ak + bk k=1 )2 ≤ k=1

. . . . . . . . . . LE PROBLEME DE CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PRINCIPE GENERAL DES METHODES NUMERIQUES . . . PROPRIETES DES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . LES PRINCIPALES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . METHODES A UN PAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.1 Méthodes d'Euler explicite et implicite . . . . . . . . . . . III.7.2 Méthode d'Euler amélioré . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.3 Méthode d'Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

., B(tn ) − B(tn−1 ), sont indépendantes. 4. pour P-presque tout ω toutes les trajectoires de B(t, ω) sont continues, i.e. P {ω; B(., ω) est continue} = 1. Remarque. Le mouvement Brownien dans la dénition ci-dessus commence à 0. Par la suite on aura parfois besoin d'un mouvement Brownien partant de x. x + B(t) est un tel processus. Ci-dessous la simulation d'un mouvement Brownien sous Scilab. espace de probabilité convenable et un processus (Bt )t∈R+ sur cet espace qui vérie les conditions

Alors g ◦ f est définie au voisinage de x0 et lim g( f (x)) = v . x→x0 • Image d'une suite convergente Soit f définie sur un intervalle I et a un point de I . f a pour limite l au point a si, et seulement si, pour toute suite (xn ) convergeant vers a, la suite f (xn ) converge vers l, finie ou non. Pour démontrer qu'une fonction f n'a pas de limite lorsque x tend vers a, il suffit de fournir un exemple de suite (xn ) qui tende vers a et telle que f (xn ) soit divergente. 2.4 Cas des fonctions

documents a` g´erer est e´ norme et rien que le stockage et la gestion efficaces posent des d´efis consid´erables. Et cela d’autant plus que les requˆetes doivent eˆ tre trait´ees en temps r´eel : on ne veut pas la r´eponse dans une semaine, mais tout de suite. Une impl´ementation op´erationnelle a` cette e´ chelle doit donc employer la force brute d’un r´eseau puissant, afin de r´epartir les donn´ees et les tˆaches sur plusieurs ordinateurs travaillant en parall`ele. Plus important encore sont les algorithmes

est uniformément continue sur [a, b]. 20.2 Continuité par morceaux Dans ce chapitre, [a, b] désigne un segment de R, avec a < b. 20.2.1 Fonctions en escaliers Définition 20.2.1 (subdivisions d’un segment) On appelle subdivision de [a, b] toute suite finie (x0 = a < x1 < . . . < xn−1 < xn = b). L’ensemble {a = x0 , . . . , xk , . . . , xn = b} est appelé le support de la subdivision. La quantité h = max(xk+1 − xk ) est appelée le pas de la subdivision. Finesse d’une subdivision Soit σ et σ deux

p+q k p+k 3. Application : Soient n, p, q ∈ N. Montrer que ∑q CqCn = Cn+q . k=0 [002909] Exercice 2910 Formule d’inversion k k Soit (xn ) une suite de réels. On pose yn = ∑n Cn xk . Montrer que (−1)n xn = ∑n (−1)kCn yk . k=0 k=0 Exercice 2911 Suite de Fibonacci p Soit un = ∑n Cn−p . Montrer que u0 = u1 = 1 et : ∀ n ∈ N, un+2 = un+1 + un (suite de Fibonacci). p=0 [002910] [002911] 9 3 Ensembles finis Exercice 2912 Permutations Combien y a-t-il de bijections f de {1, . . . , 12}

normale exposant de queue = ∞ Loi exponentielle: exposant de queue = ∞ 16 Daniel HERLEMONT Page 8 8 Exposants de queue: lois connues (suite) Loi de t-student: exposant de queue = degré de liberté  x2   fα ( x ) ~ 1 +  α     α +1  −   2  t-student df=3 Fα ( x ) ~ α (α −1) / 2 x −α Cauchy exposant de queue = 1 Pareto: Fα ( x ) = x −α 17 Daniel HERLEMONT Exposant de queue CAC40 Journalier et Future Intraday L'exposant de queue

appelle ces systèmes linéaires ? Parce qu’on peut les écrire sous la forme A(Y ) = B où A := Y ′ (t) − A(t)Y (t) est un opérateur lináire. 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) On va étudier l’ensemble des solutions de ce systèmes et le problème de Cauchy associé. Proposition 1.2.1 Soient Y1 , ..., Yk k solutions de Y ′ = AY . Soit t0 ∈ R. Elles sont linéairement indépendentes si et seulement si Y1 (t0 ), ..., Yk (t0 ) sont k vecteurs linéairement indépendents. 1. Soit A diagonalisable. Cela veut dire

Les ensembles d´ nombrables : on dit qu’un ensemble E est d´ nombrable s’il est en bijection avec I , c’est-` e e N a ´ dire si on peut enum´ rer ses points en une suite (xn )n∈I (ce qui implique notamment que xn = xm si n = m) : c’est le e N cas de I lui-mˆ me, ou de I ∗ , de Z de Q ou encore des entiers pairs, ou de toute suite strictement croissante d’entiers. N e N Z, Q, Ce n’est pas le cas ni de I ni des intervalles [a, b] lorsque a < b. R, Voici quelques propri´ t´ s des ensembles d´ nombrables