Suite définie par récurrence

la fonction est dérivable puis exprimer la fonction dérivée : f1 (x) = (x2 − 3) sin x f2 (x) = x2 − 1 2x + 3 f3 (x) = √ 3x − 4 f4 (x) = 1 x2 − 9 EXERCICE 2 : On considère la fonction f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 7. 1.Prouver que la fonction f est définie et dérivable sur R et exprimer f (x). 2.Étudier le signe de f (x). 3.Dresser le tableau de variations de la fonction f . 5 EXERCICE 3 : x−2 . x−1 1.Étudier la dérivabilité ainsi que les variations de la fonction g. 2.On appelle Cg la courbe

fini de facteurs termes et du symbole • Utilisation de la fonction partie entière. Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dans R • Raisonnement par récurrence • Définition de la fonction partie entière • Notions de borne supérieure et borne inférieure dans R et le théorème : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R. Les méthodes à retenir • On sait résoudre les équations

d’où l’égalité. c) En calculant les deux membres on obtient le même résultat n! (n1 + n2 − n)! n1 ! n2 ! . k! (n − k)! (n1 − k)!(n2 + k − n)! (n1 + n2 )! 2 Etablir l’identité (si 1 ≤ k ≤ n), n−1 n k d) = j=k−1 j . k−1 Solution On démontre par récurrence, que, pour n ≥ 1, on a la propriété suivante : n−1 j (Pn ) : pour tout k compris entre 1 et n, on a nk = . k−1 j=k−1 Initialisation : On prend n = 1, alors nécessairement k = 1, et on a 1 1 0 j k−1 = j=0 = 0 0 = 1, et la propriété est vraie

Rappels de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Rappels d’analyse 1.2 Les fonctions utilisées en physique Fourier 1.4 Les fonctions définies par des intégrales 1.3 Les Séries de 9 Énoncés des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Du mal à démarrer ? . . . . . . . . . . . . . . . .

pour tout n ∈ N. 2 3 6 c. On a a2×0 = 1 = 1 6 0 (initialisation). Hérédité : supposons que a2p = 1 6 p 1 et calculons a2p+2 = a2p 6 1 1 p 1 p+1 × = . La formule est donc vraie au rang p + 1. La récur6 6 6 rence est établie. D’autre part par récurrence immédiate : a1 = a3 = · · · = a2p+1 = 0. 1 Il suit que b 2p = a2p−1 = 0 quel que soit p. 3 1 1 1 p Calculons b 2p+1 = a2p = . 3 3 6 1 n 3. Pour (an ) : les termes de rang impair sont nuls, et on sait que lim = 0. n→+∞ 6 Donc lim an = 0. = n→+∞

Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Partie A Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 3 . 1 + e−2x → − → − Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal O, ı ,  , la courbe représentative C de la fonction f et la droite ∆ d’équation y = 3. ∆ 3 2 1 C -2 → −  → − ı -1 1 2 3 4 1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R. 2. Justifier que la droite ∆ est asymptote à la courbe C . 3. Démontrer

membre on obtient a − c = b − d + (k − k ′ )n avec k − k ′ ∈ Z et on a bien a − c ≡ b − d [n]. ❸ En multipliant membre à membre on obtient ac = bd + (kd + k ′ b + kk ′ n)n avec kd + k ′ b + kk ′ n ∈ Z et on a bien ac ≡ bd [n]. ❹ On utilise une récurrence sur p et la propriété ❸. . . Remarque. Attention ! il n’y a pas d’opération triviale de division modulaire. On ne peut donc pas simplifier une congruence comme on le ferait avec une égalité. On a 22 ≡ 18 [4] mais 11 et 9 ne sont pas congrus

listes II - Arrangements III - Permutations IV - Combinaisons V - Binôme de Newton VI - Principe fondamental du dénombrement I - Les listes p-liste E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1). Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts). Exemple On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P pour pile et F pour face). Un résultat de cette expérience est une succession ordonnée

comparé a une chien dans la comparaison « musimbwa a fait quelques pas à sa suite, comme un chien somnambule ». Selon le CNRTL l’une des définition du mot chien est « être réduit a un état de dépendance vis à vis de quelqu’un ou se mettre dans cette situation », ici Béatrice le domine, musimbwa est relayé au rôle de l’animal de compagnie suivant sagement sa maîtresse. D’ailleurs cela est accentue par le terme « a sa suite », musimbwa, est derrière elle autant au sens propre qu’au sens figuré. La

CALCUL INTÉGRAL 1. Définition de l'intégrale dans le cas d'une fonction continue positive sur un segment [a, b] 1.1. Définition L'unité d'aire r r Soit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ). y Soient I, J et K les points définis par : J r j uur r uuu r r uuur r r OI = i , OJ = j et OK = i + j O K 1 u.a. r i I x On appelle unité d'aire (notée en abrégé u.a.) l'unité de mesure des aires telle que : Aire(rectangle OIKJ) = 1 u.a. Remarques :