Suite définie par récurrence

des séries entières. I. Définition et domaine de convergence d’une série entière : 1. Définition : On appelle série entière réelle (resp. complexe) toute série de fonctions avec réel (resp. avec complexe) et une suite numérique réelle ou complexe. Exemples : . On s’intéresse principalement aux séries entières complexes dont on déduira facilement les résultats pour les séries entières réelles. La première question à se poser est celle du domaine

déduire que CA = vect (I, A, A 2). Quelle est la dimension de CA ? 1 Exercice 2 1 1   2(1 − x ) 2 si x ∈[ 0, 2 [  1  1 On considère la fonction f définie par : f (x) =  2 si x ∈[ , 1[ 2 2 x 0 sinon.   1) Montrer que f peut être considérée comme une densité de probabilité. Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire X définie sur un certain espace probabilisé (Ω, A, P) et admettant la fonction f pour densité. 2) Déterminer la fonction de répartition F de X. 3) Montrer que X

fini de facteurs termes et du symbole • Utilisation de la fonction partie entière. Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dans R • Raisonnement par récurrence • Définition de la fonction partie entière • Notions de borne supérieure et borne inférieure dans R et le théorème : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R. Les méthodes à retenir • On sait résoudre les équations

exercice 18 du programme de TES), on définit un processus qui donnera une solution (pas forcément la meilleure). On range les sommets dans l’ordre décroissant de leurs degrés : s1 , s2 , s3 … sn . On colorie ces sommets dans l’ordre précédemment défini avec pour règle de donner à chaque sommet la couleur la plus petite, en fonction des sommets voisins qui sont déjà colorés. On range les sommets dans l’ordre décroissant de leurs degrés puis on attribue les couleurs : a Degrés 3 3 2 2 2 Sommets b

raison de la suite. • Pour tout n : Un+1 = b ·Un ; Un = bn ·U0 ; Un = bn−p ·U p Un+1 • Si pour tout n, Un = constante alors (Un ) est une suite géométrique de raison égale à la constante. 1 − bn−p+1 1 − bnb de termes • U p +U p+1 + · · · +Un = U p × = 1er terme × (pour b = 1) 1−b 1−b • Pour étudier le sens de variation, on calcule Un+1 −Un et on factorise. (remarque : si b < 0 la suite est ni croissante, ni décroissante - il est donc inutile de faire le calcul) Exemple : Soit (Un ) la suite géométrique

forme une base de E . − u− − − − − (n − p) vecteurs {u p+1 p+2 un u1 u2 un Exercice 1.7 Trouver une base du sous-espace vectoriel S de R2 défini par : S = (x,y) ∈ R2 / x − 3y = 0 Année scolaire 2002/2003 Page 4 Capes Interne Mathématiques 1.4. SOUS-ESPACES SUPPLÉMENTAIRES Exercice 1.8 Déterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel P de R3 défini par : P = (x,y,z) ∈ R3 / 2x − y + z = 0 Exercice 1.9 On admettra que l’espace vectoriel Rn [X] constitué des polynômes de degré inférieur

profils des segments 4 - Le choix des segments cibles 5 - L'utilisation des variables du marketing mix pour toucher les segments retenus L'essentiel de ce processus repose sur les trois premières étapes 1ère étape - la définition du marché Pour le définir, il faut en chercher les frontières qui sont basées sur les produits/services et les individus caractérisant le marché. La dimension temps a également son importance : une perspective à long terme induit une segmentation stratégique et donc une définition

sin θ θ O 1 cos θ et • - z = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π)) http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Nombres complexes 2/4 Arguments d'un nombre complexe Utilisation en Géométrie L'argument d'un nombre complexe z n'est pas unique, il est défini modulo 2π. Si θ est un argument de z, on notera arg z = θ [2π] ou arg z = θ + 2kπ (k ∈ ZZ ) On appelle argument principal de z l'argument de z appartenant à ]-π ; π]. La notion de distance correspond au module. La notion d'angle à l'argument. *

1 Formule(s) de Taylor Théorème 2.1 Si f ∈ C m ([0, T ]) on a m−1 f (x) = k=0 xk (k) 1 f (0) + k! (m − 1)! x 0 (x − y)m−1 f (m) (y) dy pour tout x ∈ [0, T ]. (Reste intégral). Définition 2.1 Soient u et v des fonctions de la variable réelle x définies dans un voisinage de x = a (a est un réel ou l’un des symboles +∞, −∞ ou ∞). De plus, v est à valeurs dans R. (1) “Grand O”. On dit que u(x) = O (v(x)) quand x → a, ssi le rapport u(x)/v(x) reste borné dans cette limite, i.e. il existe un réel positif

d’une ligne à une autre ligne multipliée par un scalaire, noté L i ← L i + λL j . Cette dernière notation se lit « L i reçoit L i + λL j ». On remarque que ces opérations sont inversibles. À titre d’exercice, écrire les opérations inverses. On peut définir d’autres opérations élémentaires comme composées des opérations élémentaires de base : changer l’ordre des lignes, additionner des lignes, ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes, etc. Définition A.4 Deux systèmes (Σ1 ) et (Σ2