Suite géométrique

l’occurrence d’évènements lorsque ceux-ci se produisent les uns à la suite des autres, de façon aléatoire dans le temps. Loi de proba : Loi de poisson P(λ) => E(X) = λ et V(X) = λ Lorsque le nombre d’épreuves dans une loi binomiale tend vers l’infini et que la proba de succès tend vers 0, une v.a binomiale tend vers la LOI DE POISSON X~B(n,p) et n50 et np5 alors X -> P(λ) avec λ = np = E(X) Loi Géométrique (Pascal) Une v. géométrique correspond au nombre d’épreuves de Bernoulli nécessaire pour obtenir

D'autres moyennes Type de moyenne Géométrique Pour 2 éléments x et y xy (x  0 et y  0) Pour n éléments x1, x2, ... , xn–1, xn n x1 x2 ... xn (xi  0) Quadratique x2 + y2 2 2xy 2 = (xy ¹ 0) 1 1 x+y + x y 2 2 2 x1 + x2 +...+ xn n n 1 1 1 + +...+ x1 x 2 xn Harmonique (xi ¹ 0) Exemples : On donne x = 3 et y = 5. Calculer les moyennes arithmétique, géométrique, quadratique et harmonique de x et y. Moyenne arithmétique : Moyenne géométrique : Moyenne quadratique : Moyenne harmonique

d'Euler On appelle "série harmonique" la suite (Hn) définie pour n Î * par : Hn = åk k =1 n 1 On sait que cette suite diverge (voir le cours sur les suites). 1. a. Tracer dans un repère la courbe de la fonction ln. b. Calculer H1, H2, H3, H4 et H5. Placer les points de coordonnées (n, Hn) (pour n = 1, ..., 5) dans le repère. c. Que constate-t-on ? On considère la suite (un) définie pour n Î *, par : un = Hn - ln n = Nous allons prouver que la suite (un) converge. 2. Démontrer que, pour

1/x. Moyenne géométrique Définition : on se souvient que la recherche d’un caractère additif moyen conduisait à la notion de moyenne arithmétique, dite simplement moyenne, celle d’un effet multiplicatif moyen conduit à celle de moyenne géométrique. Soit une suite de nombres positifs : x1, x2, x3, … xn, de produit P = x1.x2.x3. … xn, on appelle moyenne géométrique, notée G, de ces nombres, le nombre qui multiplié n fois, ou élevé à la puissance n, donne le même résultat P, par suite G est la racine

notations Définition On appelle suite numérique toute fonction numérique définie sur sur l’ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 . a  Notations » ou La suite est notée respectivement (un )n ∈» ou (un )n ≥ n ou plus simplement (un ). 0 Le terme de rang n est noté un . b) Vocabulaire Définition Soit (un ) une suite définie sur l’ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 . On dit que : z la suite (un ) est croissante si pour tout

 b  De plus ln(ab )  b ln(a) .    Si a  0, a n est l’unique nombre strictement positif dont la puissance n est égale à a .Par exemple, 3 27  3 car 3  27 .  1  1 3  Moyenne géométrique     La moyenne géométrique des nombres strictement positifs a1,a2 ,...,an est égale à a1  a2  ... an n .  Fonctions a a x ( a  0) x La fonction a a x est appelée fonction exponentielle de base a ( a  0 ). x   x La dérivée de a a

appellées optique physique. La raison pour laquelle l'optique physique est différente de l'optique géométrique provient du fait que la lumière consiste en des ondes (et pas des "lignes droite" comme la traite l'optique géométrique) et sont affectées par l'objet. Le traçage des rayons permet de montrer où se trouve l'image, mais ne donne aucune renseignement sur ses propriétés. Nous assumerons dans la suite de l'exposé que les objectifs sont parfaits de telle manière que les performances ne seront pas

1ère STMG Cours Suites numériques En première approche, on peut comprendre les suites numériques comme des successions de nombres indicés. Par exemple la suite 12 ; 4 ; 17 ; 6… a pour premier terme 12, deuxième terme 4, troisième terme 17, quatrième terme 6, etc. Les suites sont des outils mathématiques pour modéliser les phénomènes évolutifs discrets ; c'est-à-dire des évènements qui surviennent de manière espacée dans le temps (et de manière régulière). Citons par exemple les intérêts bancaires

existe un seul réel de [0, 1[, noté un , tel que f (un) = n et donner la valeur de u1. b) Montrer que la suite (un) converge et que lim un = 1. n 1 Exercice 2 Dans cet exercice, p désigne un réel de ]0, 1[ et on note q = 1 – p. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé ( , A, P ), indépendantes et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. 1) On pose Z = Inf (X, Y) et on admet que Z est une variable aléatoire, elle aussi définie

utilisez-vous à titre principal, pour venir à l'université ?" [pic] Peut-on déterminer le mode, la médiane ou la moyenne de ces séries ? Oui on peut. Si c'est le cas, les indiquer. [pic] 2. On suppose que l'on connaît suite à cette même enquête le temps moyen mis par les étudiants pour se rendre à l'université (aller et retour) : [pic] Combien d'étudiants de Licence 1 mettent moins d'une heure pour aller et revenir ? 165 Etudiants de L1 mettent moins d’une