Théorème de Bayes

= p(B)  p(C) 2 2 4 B et C sont donc indépendants.  Indépendance de A, B, et C : p(A et B et C) = 0 car la somme de deux résultats impairs ne peut pas être impaire. p(A et B et C)  p(A)  p(B)  p(C) A, B, et C sont donc dépendants. 2.4. THEOREME DE BAYSE. Soient E1, E2, …, Ek, une série de k événements aléatoires totalement exclusifs. À chacun de ces événements correspond une information initiale qui permet d’évaluer à priori les probabilités p(E1), p(E2), …, p(Ek). p(E1) + p(E2) + … + p(Ek)

T � F ⇒ q = 1 � p = 3/4⇒ T ∼ F ⇒ q ∈]0, 1[ � p < 3/4⇒ T ≺ F ⇒ q = 0 6 - p q 0 1 4 1 2 3 4 1 1 2 13 4 1 4 Homme Femme Ainsi, on a 3 équilibres de Nash : p = 3/4, q = 1/4 (en stratégies mixtes), p = 0, q = 0 et p = 1, q = 1 (en stratégies pures) Théorème de Nash Tout jeu stratégique (avec des préférences complètes, transitives et continues) dans lequel les joueurs ont un nombre �ni d'actions possède un équilibre de Nash en stratégies mixtes.Chapitre 4 Les concepts d'équilibre dans les jeux séquentiels

deux fois. D’où TP 7 Suites On a a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 7, a5 = 43, ... (an) semble diverger et lim an = +3 . n→+3 C’est assez simple à montrer en démontrant par récurrence que an ⩾ n pour tout n ∈ ℕ* puis en utilisant les théorèmes de comparaison. Par la suite, on remarque que an+1 − 1 = an − 1. an Donc an 1 1 1 1 1 1 , puis , c’est-à-dire . = = − = an+1 − 1 an − 1 an+1 − 1 an − 1 an an+1 − 1 an ( an − 1) Donc 1 1 1 . = − an an − 1 an+1

par exemple, les deux types d’erreur ont le même coût, mais que la probabilité de défaut a priori est faible, une entreprise située à équidistance des deux 135 groupes devrait être considérée comme non-défaillante. La règle de décision de Bayes permet d’utiliser la fonction score tout en prenant en compte les coûts d’erreur de classement et la probabilité de défaut a priori. Notons π j la probabilité a priori qu’une entreprise quelconque appartienne au groupe j, où j peut désigner le groupe

composition peut évoluer dans l’année afin de préparer au mieux les écoles « parisiennes ». Les DL sont obligatoires pour tous. Les DL* ne sont obligatoires que pour les élèves du groupe *. 5. Les questions de cours en colle (élèves et colleurs) : Les théorèmes et autres propositions dont les démonstrations sont au programme de colle sont libellés par (QC) ou bien par (QC*). Les questions (QC*) peuvent être proposées aux élèves du groupe * mais pas aux autres élèves. En colle, il doit toujours y avoir en

égal au nombre de blocs. Le théorème de Fisher Tippett nous fournit la loi limite du maximum normalisé. Cette loi est la loi des extrêmes généralisés. Nous utilisons alors nos maxima observés pour la calibrer. L’approche dite « Peaks Over Threshold (POT) » qui consiste à considérer les valeurs au-delà d’un seuil et non plus seulement le maximum. Toute la difficulté revient à choisir un seuil approprié qui nous permette d’appliquer le théorème de Pickands. Ce théorème nous permet de modéliser nos

P (B/F ) = 0, 25, P (Fr/F ) = 0, 95, P (M/G) = 0, 55, P (B/G) = 0, 35, P (Fr/G) = 0, 9. 1- P (G ∩B) = P (B/G)P (G) = 0, 35× 0, 6. 2- P (M) = P (M ∩G) + P (M ∩ F ) = P (M/G)P (G) + P (M/F )P (F ) = 0, 55× 0, 6 + 0, 6× 0, 4. 3- En utilisant le théorème de Bayes on a P (F/Fr) = P (F )P (FR/F ) P (Fr/F )P (F ) + P (Fr/G)P (G) ⇒ P (F/Fr) = 0,4×0,95 0,4×0,95+09×0,6 . Exercice 7. On considère les événements suivants : C1 : le conseillé N◦1 puisse résoudre le litige. C2 : le conseillé N◦1 puisse résoudre

supplémentaires. • Plusieurs mesures simples sont tout aussi efficaces qu’une mesure lourde et compliquée 8 Vilfredo Pareto (1848-1923) Économiste italien Note sécurité des données à caractère personnel.doc18 / 19 Comme le démontre le Théorème de Bayes9, la combinaison de plusieurs mesures de protection simples, mais de ce fait peu performantes et bon marché, donne un tout aussi bon résultat qu’une seule mesure hyper performante mais alors vraisemblablement très coûteuse et difficile à

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités 33 4.1 Réponses 6 = 20 possibilités de placer les trois 5. Dans 3 chacune des trois cases qui restent on peut mettre n’importe quel chiffre sauf le "5". En appliquant le théorème fondamental on a 6 · 93 = 14 580 3 b) Trois, parmi les 6 cases, vont contenir un "5". Il y a C63 = possibilités de nombres avec exactement trois "5". c) Au moins trois "5" signifie : ou ou ou . Nous avons déjà le résultat pour , il suffit

classificateur suppose que les éléments de chaque classe possèdent une distribution Gaussienne multivariable. Dans la mesure où cette hypothèse s’avère exacte, le classificateur Gaussien permet d’obtenir les frontières optimales de décision de Bayes. En effet, le théorème de Bayes permet de calculer les probabilités à posteriori p( ω i X ) à partir des probabilités à priori p(ω i ) et des fonctions de répartition (ou vraisemblances) p( X ω i ) selon: p( ω i X ) = p(ω i ) p( X ω i ) p( X ) , (3.10)