Théorème de Bayes

c'est-à-dire que la droite d1 passe au plus près de tous les points du nuage NI . Preuve long de d1 revient à maximiser la somme ˆ iPI En eet, en prenant les notations de la gure 2.3, maximiser la dispersion le ˆ iPI OHi2 , or par le théorème de Pythagore : ˆ iPI Oi2 a ˆ iPI OHi2 C iHi2 ; i de NI à la droite (2.2) le deuxième terme représentant les distances des points d1 . £ Proposition 2.3.3 Maximiser la dispersion le long de la droite d1 revient à maximiser

cycle en son point le plus faible ; ici, c’est A contre B, ce qui donne B comme gagnant. La difficulté à trouver une procédure de décision, ou des préférences sociales, à partir de celles d’agents différents a été clairement mise en évidence par le théorème d’impossibilité d’Arrow. Kenneth Arrow a en effet montré que, sous des 60 conditions qui semblent indiscutables pour une Constitution démocratique, il n’est pas possible de trouver une règle de choix social (c’est-à-dire une règle que pourrait

trigrammes qui compose le terme T. Le classifieur Bayésien assigne à un terme la classe la plus probable ou maximum a posteriori Cmap appartenant à un ensemble fini C de classes : Cmap ≡ argmax P(c| a) c∈C (3.2) qui après l’application du théorème de Bayes peut s’écrire : Cmap = argmax P(c) P( a|c) c∈C (3.3) L’ensemble fini C est composé dans notre cas de deux classes : c et ¬c (e.g. composé chimique et non composé chimique). La probabilité qu’un certain trigramme ai = (wi−2 , wi−1 , wi )

est le défaut de coopération, puisque les intérêts privés ne font pas émerger l’intérêt social, contrairement à la thèse philosophique centrale du libéralisme économique. Certains auteurs ont d’ailleurs qualifié le dilemme du prisonnier d’« anti-théorème de la main invisible ». Cette configuration peut se retrouver dans de nombreuses circonstances, telles le financement d’un bien public : tout le monde a intérêt à son existence, mais chacun préfère se dégager de son financement (problème dit du passager

, −1 ∫z Rappel : Théorème de Cauchy : n dz = i 2π si C c’est-à-dire : + n = −1, = 0 sinon C+ avec n entier relatif sens trigonométrique. et C+ cercle de rayon quelconque et de centre 0 parcouru dans le X ( z) = Considérons l'équation de définition de la TZ : ∞ ∑ x (m) z − m m=−∞ Multiplions les 2 membres par zn-1 et intégrons sur C+ inclus dans l'anneau (R1,R2) de convergence de X ( z ) . D'après le théorème de Cauchy, tous les termes

quantit´ d’information associ´e ` x conditione e e a nelle ` la r´alisation de y, c’est-`-dire sachant que y s’est produit : a e a h (x|y) = log 1 = − log p (x|y) p (x|y) (2.5) o` p(x|y) est la probabilit´ de x conditionnellement ` y. u e a Par Bayes : p (x,y) = p (x|y) · p (y) = p (y|x) · p (x) on a donc : h(x,y) = − log (p(x,y)) = − log (p(x|y).p(y)) = − log (p(x,y)) − log (p(y)) h(x,y) = h(x|y) + h(y) = h(y|x) + h(x) (2.6) (2.7) (2.8) ´ CHAPITRE 2. THEORIE DE L’INFORMATION 9 – Nous

incertain ........................................................................................81 5.8 Méthodes d'appréciations en avenir incertain...........................................................................83 5.8.1 Le critère de Laplace-Bayes..............................................................................................84 5.8.2 Le critère de Wald .............................................................................................................84 5.8.3 Le critère

2°/ Probabilité P 1 . P 1 = P (A | T ) = = = 0, 43 Réponse 6 : ADE 3°/ Probabilité P 2. P1 = P ( | )= = = 0,82 Réponse 7 : BCDE Exercice 16. Solution. La formule de Bayes donne : avec 1°/ Tirage en deux étapes. Les boîtes sont équiprobables : P (B 1 ) = P (B 2 ) = P (B 3 ) = . La formule de Bayes ci-dessus se réduit à : P (B i | R ) = = D'où : 2°/ Tirage en une étape. La probabilité P (B i ) pour que le comprimé tiré provienne de la boîte B i est égale au nombre de cas

couleur d’un taxi, qu’il soit vert ou bleu, dans 80 % des cas. Quelle est la probabilité que le taxi impliqué soit effectivement bleu ? Résultat : La grande majorité des sujets non formés en probabilités répond : environ 80 %. [L’application du théorème de Bayes à partir du taux de base de 15 % de taxis bleus fournit 41 %.] (Kahneman & Tversky 1972a) Expérience VI. Un test existe pour détecter une maladie rare. La maladie affecte 1 personne sur 1 000 dans une certaine population, et le test a un taux

qualifié de baysien car il s’appuie sur le théorème de Bayes utilisant les probabilités conditionnelles et les probabilités a priori pour calculer les probabilités a posteriori. Soient k groupes en proportion P1, P2, …, Pk dans la population, la distribution de probabilité du vecteur X = (x1, …, xp) est donnée pour chaque groupe par une densité ƒj(x). La probabilité que le point X = (x1, …, xp) appartienne au groupe j est donnée par la formule de Bayes : P (G j / x ) = Pj f j ( x ) ∑P j