Théorème de Bayes

sous-populations 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 33 33 35 40 41 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable

indépendantes suivant des lois géométriques 1. 2. de paramètres respectifs En déduire la loi de pX et pY . On dénit Calculer les fonctions de répartition de Z = min(X, Y ). X, Y , Z. Z. Conditionnement Exercice 8 Formule de Bayes 1. (H1 , . . . , Hn ) une partition de Ω en n événements de probabilité non nulle. Montrer que, pour i = 1, . . . , n, si A est un événement Soit un espace de probabilité discret, et de probabilité non nulle : (Ω, P) P(Hi |A) = n j=1

d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 La courbure (l’accélération en physique) . . . . . . 15.3 Extrema locaux et points d’inflexion . . . . . . . . 15.4 Étude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . 15.7 Règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 Problèmes de taux d’accroissement . . . . . . . . . 15.8.1 Notation de Leibniz et dérivation en cascade 15.8

Principe des probabilités composées Événements indépendants 33 33 35 40 41 42 42 44 44 III i i i i i i “doc” — 2006/8/9 — 11:52 — page IV — #2 i 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité

qui exprime les chances d’une hypothèse relativement à l’autre. Ces méthodes présentent l’avantages de ne faire intervenir ni probabilité a priori ni éléments non observés. Les méthodes bayésiennes : elles consistent à calculer à l’aide du théorème de Bayes la distribution a posteriori pour le paramètre auquel on s’intéresse à partir des données observées, du modèle d’échantillonnage associé et des probabilités a priori sur le paramètre. Ces méthodes sont beaucoup critiquées pour être trop subjectives

particulier, les études de ce phénomène 3. Cette axiomatique est essentiellement due à von Neumann et Morgenstern (1944, 1947). Pour une description précise de ces axiomes, voir Mas-Colell, Whinston et Green (1995). 4. Pour une démonstration de ce théorème, voir Gollier (2001). 5. Lorsque la fonction d’utilité est quadratique le choix de l’individu s’opère dans l’espace espérance-variance et ce constat est à l’origine du modèle d’équilibre des actifs financiers (voir, par exemple, Markovitz (1952),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . .

usuelles (4) TCL (5) Statistiques (6) La courbe en cloche, encore appelée Gaussienne, est une découverte du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855). On lui doit beaucoup de travaux sur les probabilités, notamment sur le Théorème Central Limite qui est le sujet principal de ce cours... Frédéric Naud, département de Mathématiques Probabilités et Statistiques L1 Introduction Dénombrements (1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles (4)

Exemple : S’il y a équilibre de HW : Donc → p = 1 – q = 0,7 → D = freq (AA) = p² = 0,7² = 0,49 → R = 2pq = 2 x 0,7 x 0,3 = 0,42 Application au conseil génétique. 1° Calcul de la fréquence des (Aa) parmi les [A] : 2° Théorème de Bayes Application au conseil génétique Exemple : la mucoviscidose Déficience du gène CFTR autosomique récessif (chrs 7). Maladie génétique la plus fréquente : incidence de 1 :2000 Si équilibre de HW: Diagnostique : il faut intégrer toutes les

. . . . . . . 2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . 3 Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lois continues dérivant de la loi normale . . . . . . . . . 4.1 La loi du Chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 La loi de Fisher-Snédécor . . . . . . . . . . . . . . 4.3 La loi de