Théorème de Bayes

mathématiques, en 1999, lors de son cours à la faculté. Aucun de ses étudiants ne disposait malheureusement d’un appareil photo lors de l’incident, mais les journaux se sont largement fait l’écho de leurs témoignages. Il était en train de démontrer un théorème particulièrement ardu quand il décolla lentement du sol pour se stabiliser à une hauteur d’environ un mètre cinquante. Il était tellement absorbé par son exposé qu’il ne s’en rendit pas compte : le phénomène dura deux ou trois minutes, après quoi

deux ensembles indépendants et leurs masses. La règle de combinaison originale, connue en tant que Règle de combinaison de Dempster, est une généralisation du théorème de Bayes. Ce théorème met clairement en valeur l'accord entre des sources multiples et ignore les conflits grâce à un facteur de normalisation. L'utilisation de ce théorème pose ainsi problème lorsque des conflits signifiants ont lieu entre différentes sources d'information. Ici, la combinaison (masse jointe, joint mass) est calculée

P(G ∪ H) = P(G) + P( G ∩ H) De même H = (G ∩ H) ∪ ( G ∩ H) avec ( G ∩ H) ∩ ( G ∩ H) = ∅ donc P(H) = P(G ∩ H) + P( G ∩ H) En combinant les deux résultats, on obtient : P(G ∪ H) = P(G) + P(H) – P(G ∩ H) Ce dernier résultat est connu sous le nom de théorème des probabilités totales. B. Probabilités conditionnelles Nous avons évoqué en introduction de ce chapitre le lien particulier entre l’information disponible, le contrôle des facteurs déterminants d’un phénomène et l’importance de sa partie aléatoire

neutralité …nancière 2.1 Le cas sans friction et avec neutralité face au risque 2.1.1 Le modèle à deux périodes . . . . . . . . . . 2.1.2 Le modèle à T périodes . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le théorème de Modigliani-Miller . . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 6 6 7 8 9 10 12 14 15 19 19 20 22 25 25 25 25 26 27 42 43 43 44 46 2.3 2.4 Le cas sans impôt et sans faillite et

bus est passé il y a t0, qu’elle est la probabilité que l’on attende un temps inférieur à t1 avant l’arrivée du bus suivant. Donc, on veut chercher la probabilité que T soit inférieur à t1 sachant que T est supérieur à t0. En utilisant le théorème de Bayes nous avons: Pr{ t 0 T t1} Pr{ T< t1 / T>t0} = = Pr{ T t 0} (t1 t0) = 1 - e t1 e t dt e t0 = e t dt t0 t0 e e t1 t0 = F(t1 – t0 ) 7 Donc : Pr{ T< t1 / T>t0} = F(t1 – t0 ). C’est à dire que le temps qui

avoir défini ce qu’est une mesure de risque, nous rappelons les principales propriétés qu’elles doivent respectées pour être jugées satisfaisantes puis faisons un rapide tout d’horizon des mesures de risque les plus utilisées. 1 . D’après le théorème de la limite centrale le débours moyen de l’assureur converge avec le nombre de polices vers une variable gaussienne et donc symétrique. 14 Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond 1.1.1. Définition et propriétés Nous

continue sur R. Comme f est décroissante, elle admet une limite en +∞ qui est soit finie, soit −∞. Du coup, lim x→+∞ g(x) = −∞. De même, f étant décroissante, elle admet une limite en −∞ qui est soit finie, soit +∞. Du coup, lim x→+∞ g(x) = +∞. Le théorème de la valeur intermédiaire appliqué à g (continue) montre que g s’annule au moins une fois, donc f admet au moins un point fixe. Supposons que f possède deux points fixes distincts a et b avec a &lt; b. Alors : f(a) = a &lt; b = f(b), donc f(a) &lt;

hors diagonale » sont les cov(ut , us ) = v(t, s) pour t, s = 1 . . . n et t = s. ˆ2 ˆ β1 , E βMCO = β2 . . . E βMCO = βk . k 34 Modèle linéaire en univers stationnaire Chapitre Xu = 0. sont i.i.d. avec E(Xt ut ) = 0 et, compte tenu du théorème de Khinchine, que p lim n Quand on raisonne conditionnellement à la valeur réalisée de X, les hypothèses utilisées sont X Ln X XX lim = Q ou lim = Q. n→∞ n→∞ n n 2 ˆ Interprétation du caractère sans biais de βMCO Si on pouvait répéter plusieurs

priori, probabilité a posteriori, classes de risque Ce calcul de la probabilité d’être défaillante à l’horizon fixé pour une entreprise dont le score appartient à l’intervalle r, P , encore appelée probabilité a posteriori 18, est fondé sur le r théorème de Bayes Pr = où π D p rD π D p rD + π N p rN prD est la probabilité pour le score d’appartenir à l’intervalle r sachant que la firme est défaillante, prN  est la probabilité pour le score d’appartenir à l’intervalle r sachant que la firme

sensibilité et spécificité constantes : ✓ la valeur prédictive positive augmente avec la prévalence ; ✓ la valeur prédictive négative décroît lorsque la prévalence augmente. [pic] - Formules : 1) détermination de la VPP (théorème de bayes) Sensibilité x TP VPP = ------------------------------------------------------------------- Sensibilité x TP + (1- TP) (1 – spécificité) 2) détermination de VPN