Théorème de Bayes

approximate the c.d.f. of the Xn thanks to the following theorem. Th´or`me VI.3 (Gnedenko-Cantelli theorem) Let Xn be a sequence e e of i.i.d. random variables and Fn the associated empirical c.d.f. ’s. Then sup |Fn (x) − F (x)| −→ 0 x∈R a.s. as n → ∞. 114 Chapitre 36 Esp´rance conditionnelle e 36.1 36.1.1 Definition of Conditional Expectation General definition Recall the definition of conditional probability associated with Bayes’ Rule P(A|B) ≡ P(A ∩ B) P(B) For a discrete random

multipliant par A les deux membres, la relation Ax ≡ ABU ≡ B (mod N ). Pour d´terminer U , remarquons qu’il suffit d’´crire une relation de B´zout pour a et n : si e e e d = au + nv, alors 1 = Au + N v et Au ≡ 1 (mod N ), donc U = u convient ! ´ ` ` 5.2. THEOREME CHINOIS, SYSTEME DE CONGRUENCES 53 En r´sum´, la r´solution de l’´quation ax = b (mod n) se fait comme suit : e e e e Soit d le pgcd de a et n ; ´crivons a = da et n = dn . Soit d = au + nv une relation de B´zout, e e calcul´e ` l’aide de l’algorithme

densité uniforme ρ. Puisque la distribution de masse est à symétrie sphérique, le théorème de Gauss « suggère » que la galaxie subit une force dirigée vers l’origine et proportionnelle à la masse totale contenue dans une sphère de rayon < χa(t) autour de l’origine : |F | = où M (χ) = 4π(χa)3 ρ/3 . (1.52) GM (χ)m , χ2 a 2 (1.51) ÉC LE O LY T PO HN EC UE IQ 4 (Nous ne nous préoccupons pas du fait que le théorème de Gauss s’applique ou non ¨ dans un milieu infini.) En utilisant |F | = mR

le cas de l’équiprobabilité (toute technicité en dénombrement est superflue, connaître tout de même les notions au programme !). Calculs de probabilités totales, utilisation des probabilités conditionnelles (on peut se servir d’arbres), formule de Bayes. Répétitions d’expériences, schéma de Bernoulli. Variable aléatoire. Loi uniforme, loi de Bernoulli, lois binômiales. La notion d’espérance sera peu utilisée. b) en analyse : Suites (suites géométriques et arithmétiques, croissantes, décroissantes

personnalité. Les sujets prennent connaissance du résultat des tests et il leur faut déterminer la probabilité que la personne décrite soit un ingénieur. Tous les sujets sont avertis que les experts parviennent à deviner correctement. Selon le théorème de Bayes, lorsque les sujets ne disposent d’aucune information concernant la personne à estimer, ils devraient répondre .30 dans la condition 30 ingénieurs (3x/10) et .70 fois ingénieur (7x/10) dans l’autre condition Les résultats indiquent que les sujets

proportion d’épreuves ayant donné le résultat R. Ces variables sont appelées fréquences empiriques. On applique directement la loi des grands nombres pour montrer la convergence en probabilité des fréquences empiriques vers la probabilité p. C’est le théorème de De Moivre-Laplace. À partir de ce résultat, toute l’approche fréquentiste des probabilités ( supra, § I) s’est développée sur l’évaluation de la probabilité d’un événement par la limite de la fréquence relative d’apparition de cet événement lorsqu’on

et esp´erance conditionnelle . . . 3.2 Projection dans un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Th´eor`eme de Radon Nikodym . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Un th´eor`eme de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

satisfactorily explained what differentiates a persuasive from a nonpersuasive cue. Specifically, none of the extant models identifies the necessary or sufficient conditions for cue persuasion. The formal theoretical framework that Lupia offers begins with the theorem that “perceived common interests and perceived speaker knowledge are each necessary for persuasion.” Satisfaction of both necessary conditions, plus the condition that the listener be sufficiently uncertain about two (or more) alternatives so as to

al´atoires X, Y qui interviennent sont e d´finies sur un espace mesur´ (Ω, A, µ). Suivant notre convention, on dira que e e X dµ existe, si X ≥ 0, ou si X est µ-int´grable. Enfin, si X dµ existe et e si A ∈ A, on posera A X dµ = Ω XIA dµ. ´ ` 9. THEOREMES DE CONVERGENCE 125 Proposition 8.1. — Si X dµ et Y dµ existent, alors les propri´t´s ee suivantes sont satisfaites : A. Lin´arit´ e e (A1) (X + Y ) dµ = X dµ + Y dµ ; (A2) pour tout λ r´el, on a : λX dµ = λ X dµ ; e (A3) pour tous A, B ∈ A

Approche par l’op´rateur d’auto-transport brownien e 29 particule arrive sur la surface de travail, elle peut ˆtre soit absorb´e avec la probabilit´ e e e 12 σ, soit r´fl´chie vers un site voisin avec la probabilit´ ε = 1 − σ. La formule de Bayes e e e implique la relation simple : CF = εCV (1.22) o` CF et CV sont les concentrations de particules sur le site fronti`re et sur son voisin u e dans le volume. D’autre part, la d´riv´e normale ∂C/∂n s’´crit sous la forme discr`te : e e