Théorème de Bayes

convergence, divergence) et celle des aspects quantitatifs (majoration, encadrement, etc.). On soulignera l'intérêt des suites, tant du point de vue pratique (modélisation de phénomènes discrets) que théorique (approximation de nombres réels). Les théorèmes sont énoncés mais leurs démonstrations ne sont pas exigibles ; ils sont illustrés par de nombreux exemples et applications. On présentera des exemples de suites issus de situations économiques ou fonancières. Suites dans R Suite majorée, minorée

Harsanyi (1995)). 11 16 0 ≤ σ i ≤ 1 où σ 1 est la probabilité de choisir pile et σ 2 la probabilité de choisir face par le joueur i. Comme il ressortira plus bas, le jeu « Apparier les sous » admet un équilibre de Nash en stratégies mixtes. Le théorème de Nash montre que dans un jeu où les ensembles de stratégies sont finis, il existe toujours un équilibre en stratégies mixtes. Définition : Soit S i l’ensemble fini des stratégies pures du joueur i. Une stratégie mixte du joueur i est une distribution

Nous cherchons donc trois probabilités   P(Y = 1|X = x) P(Y = 2|X = x)  P(Y = 3|X = x), et nous affecterons à x le groupe j0 pour lequel la probabilité sera maximale. Pour déterminer ces trois probabilités de classement nous utilisons le théorème de Bayes qui sous sa forme “probabilités discrètes” s’énonce P(A ∩ B) P(B|A)P(A) P(A|B) = = . P(B) P(B) Régression logistique et scoring Pierre-André Cornillon Laurent Rouvière 10 Introduction Cela donne, en remplaçant les probabilités

distribution de probabilités (un mécanisme aléatoire) est choisi (selon une théorie du choix) sur les théories. Dans ce cas, il peut être possible3 de probabiliser l’ensemble des résultats par la distribution composée (selon la règle de composition de Bayes). – Une manière moins exigeante consiste à considérer l’ensemble des distributions pertinentes pour chacune des théories. Sous certaines hypothèses, cet ensemble de distributions peut avoir une enveloppe qui soit une mesure sur 1. Ou σ-additive

le rôle prévisionnel des statistiques avec la construction des premières tables de mortalité. La statistique mathématique s’appuya sur les premiers travaux concernant les probabilités développés par Fermat et Pascal. C’est probablement chez Thomas Bayes que l’on vit apparaître un embryon de statistique inférentielle. Condorcet et Laplace parlaient encore de probabilité là où l’on parlerait aujourd’hui de fréquence. Mais c’est à Adolphe Quételet que l’on doit l’idée que la statistique est une science

d’introduire des variables différentes reliées aux caractéristiques de la voiture utilisée (marque, puissance, âge de l’automobile, garanties souscrites). Le théorème de Bayes Si nous nous intéressons à la distribution a priori des accidents d’un individu ayant k accidents durant la période t, nous voulons vérifier, à l’aide du théorème de Bayes, que si la distribution a priori de λ est une Gamma de paramètres (a,τ), alors la distribution a posteriori est également une Gamma de paramètres (a + Yi ,

B soient réalisés P(A B) = probabilité que A soit réalisé sachant que B est réalisé 7 Propriétés : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) P(A ∩ B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Evènements indépendants : P(A ∩ B) = P(A)P(B) et P(A B) = P(A) Théorème de Bayes : On considère un événement A qui est la conséquence de plusieurs causes mutuellement exclusives C1, C2,… Cn. La probabilité que ce soit la cause Ck qui ait causé A vaut : P(Ck)P(A Ck) P(Ck A)= n ∑P(Ci)P(A Ci) i =1 Variable aléatoire On

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

variables aléatoires réelles et leurs lois. . . . . . . . . . . . . . . L’espérance mathématique d’une variable aléatoire 5.1 Les variables aléatoires étagées. . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espérance d’une variable aléatoire quelconque. . . . . . . 5.3 Théorème du transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace 6.1 Moments