Théorème de Bayes

familier pour ne pas en présenter quelques propriétés caractéristiques avant d’aborder l’ensemble des nombres complexes. On trouvera en annexe une idée de construction de l’ensemble des nombres réel 1 . Certaines définitions de ce chapitre seraient des théorèmes si notre ambition était une construction de l’ensemble des nombres complexes à partir de l’ensemble des nombres réels ; cependant, cette ambition ne serait pas conforme à l’esprit du programme 2 . 1.1 1.1.1 L’ensemble C des nombres complexes

. . . . . . . . . . . . Modèle probabiliste . . . . . . . . . . Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilité conditionnelle . . . . . . Un nouvel Univers . . . . . . . . . . . Exemple: fausse alarme . . . . . . . Théorème de probabilité totale . . Théorème de Bayes . . . . . . . . . . Inférence bayésienne . . . . . . . . . Indépendance . . . . . . . . . . . . . . Quelques stratégies . . . . . . . . . . Compter = multiplier. . . . . . . . . . . . ou diviser! . . . . . . . . . . . . . .

Probabilités Mesure des phénomènes biologiques : types de données, caractérisation des données, unités, échelles, ordres de grandeur, précision Evènements, probabilités élémentaires et probabilités conditionnelles Indépendance en probabilité et théorème de Bayes Variables aléatoires et lois de probabilité discrète et continue II- Statistiques Population, échantillon. Estimation ponctuelle d’un paramètre et estimation par intervalle Principes des tests d’hypothèse; tests paramétriques et non paramétriques

grand-mère est transmettrice, la probabilité que sa fille le soit est de 1/4. Si on suppose que la fille n’est pas transmettrice, la probabilité que sa mère soit transmettrice est de 1/9. Calcul Le risque peut être calculé en utilisant le théorème de Bayes (Thomas Bayes, 1702-1761), La probabilité a posteriori de l’hypothèse H, connaissant l’événement E est P(E si H) P(H) ∑ P(E si Hi) P(Hi) i où P(H) est la proabilité a priori de l’hypothèse H (la probabilité de H estimée avant de connaître l’événement

55 OUTILS STATISTIQUES PARTIE 2 IV. THEOREME DE BAYES Le théorème de Bayes est le théorème de la probabilité des causes. L’épreuve se divise en deux parties : Il existe un groupe d’événements incompatibles dont les probabilités sont connues Il existe un événement A issu du groupe dont la probabilité conditionnelle est connue P(E1) ; P(E2) ; … ; P(Ei) P(A/E1) ; P(A/E2) ; …. ; P(A/Ei) Le principe de l’application du processus de Bayes est de calculer ce qui est inconnu, c’est à dire

.......... 6 1.3.2 Indépendance .................................................. 8 1.3.2.1 Indépendance de deux événements ........................... 8 1.3.2.2 Indépendance deux à deux et indépendancc mutuelle ............. 8 1.3.3 Formules de Bayes .............................................. 9 Réflexions sur le concept de probabilité ................................. 10 lA.1 La conception objectiviste ....................................... 10 104.1.1 La vision classique .................

B disjoints, P(A∪B) = P(A) + P(B) P(0) = 0 P(Ac) = 1-P(A) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Généralisation : P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(A∩C) Probabilité conditionnelle : P(A⎜B) = P(A∩B)/P(B) P(A) = ∑ P(A⎜Bi)*P(Bi) Formule de Bayes : P(Bj⎜A) = P(A∩Bj)/P(A) = P(A⎜Bj)*P(Bj)/P(A) = [P(A⎜Bj)*P(Bj) ]/ [∑ P(A⎜Bi)*P(Bi) ] Notion d’indépendance : P(A⎜B) = P(A) si A & B sont indpdts P(A∩B) = P(A)*P(B) Variables aléatoires : X Loi de probabilités : soit p(xi) = P(X = xi) la probabilité

n s'appelle le degré du polynôme. On note n=deg(f). Propriété : Deux fonctions polynômes sont égales lorsqu'elles ont le même degré et les mêmes coefficients. Racine d'un polynôme : Le nombre a est appelé racine d’un polynôme f lorsque f(a) = 0. Théorème : a est une racine du polynôme f si et seulement si il existe un polynôme g tel que f  x  =  x − a  g  x  . Dans ce cas deg(g) = deg(f) – 1 = n−1 On dit aussi que le polynôme f  x  est factorisable par  x− a  n− 1 Pour déterminer le

n→+∞ Remarque II.3.4. — Une suite divergente soit admet une limite infinie, soit n’admet pas de limite. Proposition II.3.5. — Si une suite converge, alors sa limite est unique. II.3.2 Limites de références Théorème II.3.6. — Soit α ∈ R∗+ . On a lim nα = +∞ n→+∞ lim n→+∞ 1 = 0. nα Théorème II.3.7. — Soit q ∈ R. On a lim q n = n→+∞ La suite (q n )n∈N ne possède pas de limite si q Proposition II.3.8. — Soient α ∈ R∗+   1 si +∞ si  0 si q=1 q>1 . −1 < q < 1 −1. et q > 1. On a qn = +∞

intégrales généralisées) sont exposés progressivement et illustrés par de nombreux exemples. Pour l’algèbre linéaire, la difficulté est d’une part technique (recherche des valeurs propres et vecteurs propres), et d’autre part théorique (utilisation des théorèmes abstraits du cours dans des situations diverses). On s’est efforcé de bien cerner les difficultés et ici aussi de donner suffisamment de variété dans les exemples. En probabilités, on a choisi de traiter dans trois chapitres différents les problèmes