Théorème de Bayes

lim µ( m≥n Am ) et µ(lim inf(An )n ) = lim µ( m≥n Am ) les limites étant bien définies car portant sur des suites décroissantes et croissantes d’événements. Ci-dessous un résultat utile à la définition de la mesure de Lebesgue sur R, Rn ,... Théorème 1.1.1 (Théorème d’extension de Hahn - Caratheodory) Si Ω est un ensemble, F une algèbre sur Ω, et ν une application de F dans [0, +∞] additive (telle que ν(A ∪ B) = ν(A) + ν(B) pour A ∪ B = ∅), alors si A est la tribu engendrée par F , il existe une mesure

probabilité qu’un élève fasse de l’anglais sachant que c’est un garçon : 48 |G ∩ A| = . |G| 70 On constate aussi que 48/150 48 P(G ∩ A) = = . P(G) 70/150 70 5.1 Probabilité conditionnelle PB : P(Ω) −→ [0, 1] A −→ PB (A) = P(A ∩ B) P(B) Théorème 1 : Soit B ∈ P(Ω) telle que P(B) = 0. Alors l’application est une probabilité sur Ω. 2 Probabilité conditionnelle et indépendance démonstration : Puisque pour toute partie B de Ω, B ∩ Ω = B, il est clair que PB (Ω) = 1. Soient alors A1

33 3.6.3.1 3.6.3.2 Cas dénombrable Cas d’un ensemble probabilisé infini non dénombrable Chapitre 4 : 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes 33 34 35 36 38 38 41 Probabilité conditionnelle Théorème de la multiplication Diagramme en arbre Théorème de Bayes Indépendance entre événements Indépendance, inclusion et exclusion de deux événements Chapitre 5 : 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.3 5.3.1 5.3.1.1 5.3.1.2 5

qu’elle ait le défaut A. | |Ne soyez pas rebuté pat le côté irréel d’une telle question, les probabilités conditionnelles ouvrent un champ particulièrement fécond et opérationnel aux| |statistiques (notamment par le théorème de Bayes). | |La réponse à la question est 0,16 / 0,34 = 8 / 17.

des chiffres donnés par Jules César dans sa conquête des gaules (De bello Gallico, v.). Les statistiques mathématiques s'appuyaient sur les premiers travaux concernant les probabilités développés par Fermat et Pascal. C'est probablement chez Thomas Bayes que l'on vit apparaître un embryon de statistique inférentielle. Condorcet et Laplace parlaient encore de probabilité là où l'on parlerait aujourd'hui de fréquence. Mais c'est à Adolphe Quetelet que l'on doit l'idée que la statistique est une science

application d’un ensemble vers un autre. C’est une application de P(Ω) dans [0 ;1] P(A) est une mesure de la croyance de la réalisation de A.  A et B incompatibles. P(A∩B)=0 P(AUB) = P(A) + P(B) A et B complémentaires P(AUB) = P(A) + P(B) = P(Ω) = 1 Théorème des probabilités totales ( si les évènements ne sont pas incompatibles) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)   2 – Calcul des probabilités   Méthode subjective. Expérience qui permet d’associer une probabilité Méthode fréquentiste. consiste à

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . 1.2 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Probabilité conditionnelle à un événement . . . . . . . 1.2.2 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Indépendance en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Indépendance d’événements . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Indépendance de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Indépendance

utiliser le Théorème de Bayes pour solutionner certaines de ces situations. Fichier : M4 - Section 4 - Théorème de Bayes M4 – Section 4 – Théorème de Bayes Description de la section Dans cette section, on apprend comment utiliser le Théorème de Bayes, qui nous permet de calculer la probabilité d’un événement si l’on connaît d’autres probabilités par rapport à cet événement étudié. Objectif spécifique À la fin de cette section, vous serez en mesure d’ : utiliser le Théorème de Bayes Fichier : M4

On a trouvé RR=15.2, sans avoir besoin de connaître la Pr(CP) (càd x qui se biffe). • Théorème de Bayes Problème : La population est partagée en trois groupes séparés et on connaît l’incidence d’un certain événement dans chacun des 3 groupes. On observe l’événement sur un individu dont on ne connaît pas l’appartenance. Quelle est la probabilité qu’il provienne du premier, du second ou du troisième groupe ? Bayes dit : Si B est découpé en portions disjointes et exhaustives et si on connaît Pr(A|Bi)

Mesure et intégration (3-0-6) Objectifs : développer l’intégrale de Lebesgue et obtenir ses propriétés. Contenu : théorie abstraite de l’intégration. Mesures de Borel et théorème de représentation de Riesz. Espaces Lp. Mesures complexes et théorème de Radon-Niko­ dym. Intégration sur les espaces produits et le théorème de Fubini. Différentiation. MAT 714 3 cr. Sujets choisis en algèbre (3-0-6) 3 cr. Objectif : se familiariser avec un domaine de l’algèbre privilégié par des travaux