Théorème de Bayes

probabilités 1. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . 2. Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Covariance et corrélation . . . . . . . . 5. Fonction de répartition conjointe . . . 6. Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Principes, méthode de moments 9.2. Moindres carrés ordinaires . . 9.3. Maximum de vraisemblance

de probabilité est : 6 Cas discret : 1) Introduction Exemple 1 : 7 1) Introduction Exercice 1 : 8 2) Bases des probabilités Définition . 9 2) Bases des probabilités Définition . 10 2) Bases des probabilités Théorème . 11 2) Bases des probabilités Exercice 2 : 12 2) Bases des probabilités Exercice 3 : Jet de deux dés réguliers. Considérons les deux événements : – A = « la somme des points est impaire », – B = « la somme des points est supérieure

B : • Indépendance de 2 événements A et B : P A B = P A B P B P A B =P A P B P A B =P A P B A =P B Ai = i I • Indépendance mutuelle des événements : P Indépendance 2 à 2 des événements, mais la réciproque est fausse ! P Ai • Théorème de Bayes A. ROGOZAN – Ph. LERAY pour 2 événements A et B quelconques : P A B = P B A P A P B 11 UV Statistiques Cours n°1 Conditionnement et indépendance • Exemple : La législation de la marijuana aux USA Est Pour Contre 0.078 0

Formule des probabilités totales : P ( R) = P ( V/R) . P (R n V) + P (V / R) . P (R n V) = 0,7 . 0,2 = 0,22 Donc 22 chances sur 100 d’être en retard/ Théorème de Bayes (Proba des causes)/ P ( V/R) = P ( v n R ) / P(R) = 0,14 / 0,22 = 0,63 probabilité d’avoir pris la voiture sachant qu’il est en retard. Remarque : Le théorème de Bayes passe de P (R /V) à P (V/R) Exemple 3 Probabilité de voir son psy et de pleurer P (P n L) = (1/3) . 0,6 = 0,20 Probabilité de pleurer : P (L) = (1/3)

2/Notation [pic] : Définition  Soit [pic] et [pic] ; 1[pic], on pose par définition : [pic][pic] p facteurs . [pic] et [pic] . Théorème |[pic] et [pic] ; [pic]. | 3/Notation [pic]  Définition  Soit [pic] et [pic] / [pic] On pose par définition : [pic] Exemple  [pic] , [pic] , [pic] , [pic] Théorème  |[pic] et [pic] ; [pic] ou bien [pic] . | 4/Cardinal d’un ensemble fini 

de loi de Poisson. Par contre, si a est un réel aX1 n'est pas une variable de loi de Poisson, car le support de la loi n'est plus nécessairement l'ensemble des nombres entiers. La stabilité de la loi normale entraîne le résultat suivant : Théorème 1. Théorème de la limite centrale : Soit une collection de n variables (X1 , ....Xn ) indépendantes de même loi, d'espérance nulle et de √ variance nie σ 2 . Soit Sn la somme de ces variables. Alors la loi de Sn / n tend vers la loi N (0, σ 2 ).

Y Remarque : si q = 2, ce test n’est pas équivalent au test du quotient des variances (sauf si les effectifs sont égaux). Z 16 Bayes (formule de), Bayes (théorème de) Bayes (formule de), Bayes (théorème de) (Bayes formula, Bayes theorem) Nom d’une formule – ou théorème – utilisée pour trouver les « probabilités des causes ». Formule de Bayes (version simple) Soient deux évènements A et B d’un espace probabilisé (Ω, A, P), avec P(B) ≠ 0. Alors : P ( A )P ( B A ) P ( A B ) =

6.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.5 Comparaison des modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.6 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.7 Le théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Bibliographie 125 c ⃝Boukhari.F Introduction Ce manuscrit est une introduction au calcul des probabilités

de décision .. ......... ............. ........... .................. ...... .............. ..... .. 23 2.2.4 Les algorithmes génétiques :........ ............. ....................... ..... .............. ....... . 29 2.2. 5 L'algorithme de Naïve Bayes ........ ................... .......... .... .. ................ ..... .... 33 2.2.6 Les machines à support de vecteurs (SVM) ... .............. .. ... ........ ....... ..... ..... 36 2.3 Les méthodes de classifi cation non supervisées ....... ...

2 Equations Différentielles Stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Propriété de Markov : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.6 Martingale exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lien avec les EDP stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Problème parabolique