Théorème de Bayes

développera des techniques de base permettant une maîtrise des représentations graphiques et une bonne connaissance des méthodes statistiques. II CONSEILS METHODOLOGIQUES: 1) L'activité mathématique ne consiste pas en une suite bien ordonnée de théorèmes: toute introduction d'une notion nouvelle doit être précédée de l'étude d'une situation permettant d'appréhender cette notion et suivie d'applications immédiates. 2) L'enseignement des mathématiques ne saurait se réduire à un ensemble de résultats

caractéristique............................... Vecteurs gaussiens ...................................................................................... Théorèmes limites fondamentaux....................................................... Loi des grands nombres ............................................................................. Théorème de la limite centrale................................................................... Comparaison des différents modes de convergence ...............

updated September 29, 2009) Contents 1 Econometrics . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Probability foundations . . . . . . . . Basic set theory Disjointness Partition Sigma algebra Probability function Probability space Counting Conditional probability Bayes’ Rule Independence of events Mutual independence of events Random variables . . . . . . . . . . . Random variable Random vector Measurability Smallest σ-field Independence of r.v.s Independence of random vectors Mean independence Cumulative distribution

avons : med = m1 + k(p – 1)(q – 1) mod(p) med = m(m(p – 1))k(q – 1) mod(p) D’après le théorème de Fermat, si p est premier, ap – 1 = 1 mod(p) pour tout a ∈ Zp*. Nous avons donc : med = m(1)k(q – 1) mod(p) med = m mod(p) Par ailleurs : med = m mod(p) si m = 0 mod(p) Pour tout m, nous avons donc : med = m mod(p) Nous pouvons montrer de la même manière que, pour tout m : med = m mod(q) D’après un corollaire du théorème du reste chinois, si n1, n2,…, nk sont premiers entre eux deux à deux et si n = n1n2

(perte d ’information) systématique introduite par la conversion A/N 28 TF d ’un signal échantillonné : exemple 29 Théorème de Shannon Un signal analogique x(t) ayant une largeur de bande finie limitée à 2F hz, ne peut être reconstitué exactement à partir de ses échantillons x ( n∆t ) que si ceux-ci ont été 1 1 Te = ≤ prélevés avec une période fe 2F 30 Théorème de Shannon Pour que la répétition périodique du spectre ne modifie pas le motif répété, il faut et suffit que la fréquence

arguments qui la composent ; la pratique de la démonstration leur apprend à créer et à exprimer eux-mêmes de tels arguments. L’intérêt de la construction d’un objet mathématique ou de la démonstration d’un théorème repose sur ce qu’elles apportent à la compréhension-même de l’objet ou du théorème : préciser une perception intuitive, analyser la portée des hypothèses, éclairer une situation, exploiter et réinvestir des concepts et des résultats théoriques. Calculer, manipuler des symboles, maîtriser

naturelles (interaction des groupes) Le « joueur » (agent en interaction stratégique) peut d’ailleurs être un agent humain, mais aussi non humain (ordinateur, animal, plante…). En sc. Sociales : agent humain. c) Bref historique ZERMELO 1913 (1er théorème assurant que le jeu d’échec est strictement déterminé), VNM 1944 (« The theory of games and economic behaviour »), application en éco. NASH 1950 (résolution du dilemme du prisonnier, équilibre de Nash et fondations de la théorie moderne des jeux

sous-populations 33 33 35 40 41 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 45 46 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité

is easy to see that K is a convex cone containing the origin. Exactly one of the following cases can hold: • The vector do belongs to K. This means that Problem 1 above has a solution. • The vector do does not belong to K. Then, by the separation theorem for convex sets, there exists a hyperplane H such that do is strictly on one side of H whereas K is on the other side. Letting h be defined as a normal vector to H pointing in the direction where K lies, this means that Problem 2 has a solution. 0

. . . . . . . CH 4.9.1 Indépendance de deux variables aléatoires . . . . . . . . Y T E indépendantes . . . . . . . 4.9.2 Suite de variables aléatoires OL 4.10 Calculs de lois . L E. P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.1 Un théorème d’identification . . . . . . . . . . . . . . . ÉCO 4.10.2 Recherche de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Simulation de suites de variables aléatoires indépendantes . . . 4.11.1 Inversion de la fonction de répartition . . . . .