Théorème de Cantor

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(1873) suite au soulèvement populaire de la Commune, année où Hermite prouve la transcendance du nombre e. Cantor invente (1874) la théorie des ensembles. Jules Ferry institue l'école laïque et obligatoire (1881). Lindemann prouve la transcendance de p en 1882. Le président Sadi Carnot est assassiné en 1894. Le premier congrès international de mathématiques institué à la demande Cantor a lieu à Zürich. Hilbert publie ses fondements de la Géométrie en 1899 Le congrès international de mathématiques

continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, nombres irrationnels Une suite définie par récurrence Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques Des développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités 4 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1

Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction 1 Théorie générale de la mesure 1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . 1.2 Définition et exemples de mesures 1.3 Exemple : l’ensemble de Cantor . . 1.4 Complétion des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

expériences naturelles. Une autre méthode consiste à régresser la part du revenu imposable sur une liste de variables explicatives incluant les modifications des taux d'imposition, l'effet du cycle économique ainsi que d'autres variables. (Canto, Joines et Laffer) Théorème de séparation Les décisions d'un investisseur en matière de choix de portefeuille résultent d'un arbitrage entre la prise de risque et le taux de rendement anticipé. Quel que soit le niveau de risque, le taux de rendement espéré le

toute preuve directe ou qui nie les principes. C'est le cas pour la réfutation de certaines doctrines, comme le scepticisme. Application en mathématiques La démonstration par l'impossible, usitée dans les mathématiques pour démontrer certains théorèmes qui ne sont pas susceptibles d'une autre preuve, rentre dans la preuve apagogique ; elle n'est pas admise par certains mathématiciens dits intuitionnistes, qui rejettent le principe du tiers exclu. Admettons que nous ayons à démontrer une proposition

intellectuelle, étant fondées sur des axiomes déclarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience, même s'ils en sont souvent inspirés) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Bien que les résultats

. . . . Théorème de Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule du crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . Inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismes de Sn dans × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère de conjugaison des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Wilson

II. Quelques propriétés des nombres algébriques6 II.1. Définitions6 II.2. Propriétés7 II.3. Dénombrabilité des nombres algébriques7 III. Les nombres transcendants8 III.1. Définitions8 III.2. Construction d'un nombre transcendant9 III.2.a. Théorème de Liouville9 III.2.b. Les nombres de Liouville10 III.2.c. La constante de Liouville11 IV. Transcendance de e12 IV.1. Plan de la démonstration12 IV.1.a. Définition12 IV.1.b. Description de la méthode12 IV.2. Démonstration de la transcendance

entiers : P : ∀ n, ∃ m, m = n2 est vrai Q : ∀ n, ∃ m, n = m2 est faux Etant donné une proposition, le travail du mathématicien consiste à déterminer si elle est vraie ou fausse. S'il arrive à démontrer qu'elle est vraie, cette proposition est un théorème. On est amené à regrouper diverses propositions de la façon suivante : a) la conjonction : "P et Q" est une proposition qui sera vraie si et seulement si les deux propositions P et Q sont simultanément vraies. b) la dijonction : "P ou Q" est une