Théorème de la bijection

bn sont premiers entre eux. Exercice 24 [ 01210 ] [correction] On note div(n) l’ensemble des diviseurs positifs d’un entier n ∈ Z. Soient a, b ∈ Z premiers entre eux et ϕ : div(a) × div(b) → N définie par ϕ(k, ) = k . Montrer que ϕ réalise une bijection de div(a) × div(b) vers div(ab). Exercice 25 [ 01211 ] [correction] Soient a et b deux entiers relatifs tels que a2 | b2 . Montrer que a | b. Exercice 26 [ 01212 ] [correction] Soit x ∈ Q. On suppose qu’il existe n ∈ N tel que xn ∈ Z. Montrer

⇐⇒ P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n avec an = 0, an s’appelle coefficient dominant de P . Par convention deg 0 = −∞. Remarque 1.4. P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ⇐⇒ deg P ≤ n Théorème 1.5. deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q). Avec l’égalité dans le cas où deg P = deg Q ou bien deg P = deg Q et adeg P = −bdeg Q . Théorème 1.6. deg(P Q) = deg P + deg Q. En particulier si λ, constante non nulle alors : deg λP = deg P. Exemple 1.7. deg P1 = 3, deg P2 = 0, deg P1 .P1 = 9. Proposition 1.8. K[X] est intègre

elle contient toutes les autres tribus sur Ω. * Soit A une partie de Ω. L’ensemble des parties ¯ A = {∅, A, A, Ω} est une tribu. 3 Définition 1.1.2 Lorsque A est une tribu sur Ω, le couple (Ω, A) est appelé espace probabilisable (ou mesurable). Théorème 1.1.3 L’image réciproque d’une tribu par une application f est une tribu. Preuve. Notons Soit f une application de E vers F et F une tribu sur F . E = f −1 (F) = {f −1 (B), pour B ∈ F} = {A ⊂ E tel que f (A) ∈ F} . * l’ensemble E est bien sûr élément

(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n avec an = 0, an s’appelle coefficient dominant de P . Par convention deg 0 = −∞. Remarque 1.4. P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ⇐⇒ deg P ≤ n Théorème 1.5. deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q). Avec l’égalité dans le cas où deg P = deg Q ou bien deg P = deg Q et adeg P = −bdeg Q . Théorème 1.6. deg(P Q) = deg P + deg Q. En particulier si λ, constante non nulle alors : deg λP = deg P. Exemple 1.7. deg P1 = 3, deg P2 = 0, deg P1 .P1 = 9. Proposition 1.8. K[X] est

En +∞, la limite se calcule simplement, x + 2 et ex−1 = 1 ex tendant tous deux vers +∞ : e x→+∞ lim g (x) = +∞ Par contre, en −∞, il y a une indétermination à lever : g (x) = x→−∞ 2 xex + ex − 1 e e x→−∞ Or on sait que lim xex = 0 (théorème de croissance comparée), de même que lim ex = 0, donc : x→−∞ lim g (x) = −1 (b) De même, g est dérivable sur Ê, et g ′ (x) = ex−1 (1 + x + 2) = ex−1 (x + 3) Son signe est celui de x + 3, positif si x 3, négatif sinon. (c) On déduit de ce

usuelles Exercice 28. Résoudre dans R l’équation (E) : ln ( x+ 3 4 ) = 1 2 (ln(x) + ln(3)). Correction no 28. Le domaine de définition de l’équation (E) est ] 0 ; +∞ [. Soit x ∈ ] 0 ; +∞ [. (E)⇔ ln ( x+ 3 4 ) = ln( √ 3x)⇔ x+ 3 4 = √ 3x car ln est une bijection. (E)⇔ (x+ 3)2 = 16× 3x car tout est positif (E) ⇔ x2 − 42x + 9 = 0, et si on veut des calculs faisables de tête, ∆ = 422 − 4 × 9 = (2× 3× 7)2 − (2× 3)2 = (2× 3)2(72 − 1) = 62 × 48 = 62 × 16× 3 = 242 × 3 donc (E)⇔ x = 42± 24 √ 3 2 ⇔ x = 21± 12 √ 3

. . . . . . . 26 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4.1 Approche intuitive au moyen d'un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4.2 Théorèmes sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.3 Etude des branches innies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.4 Fonctions équivalentes . . . . . . . . .

0 1 0 1 . 1 0 0 • Un produit de matrices peut être nul sans qu’aucune de ces matrices soit nulle. Par exemple :  1 0  Définition (Matrice identité) On appelle matrice identité de taille n la matrice In =  . . . 0 Théorème 0 1 . . . 0 1 0 1 0 = 0 . 0  0 0  .  carrée de taille n. . . ··· ··· .. . ··· 1 (Propriétés du produit matriciel) Sous réserve de compatibilité des formats : • Associativité : Soient A ∈ Mp,q

À l'usage des élèves de la classe * /  I G (Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / ).. C 1 À la poursuite de celui qui détermine 1 I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

n→∞ 1+ 1 n n = e. En particulier, on voit que la limite n’est pas 1, comme on aurait pu le croire en sup1 posant que le fait que 1 + n tende vers 1 entraîne que sa puissance n-ième tende aussi vers 1. D’une manière générale, aucun théorème classique ne s’applique quand les puissances ou le nombre de facteurs d’un produit est variable. Nous allons simplifier le produit en considérant son logarithme. n 1+ ln k=1 20 k n2 n = ln 1 + k=1 k n2 9782100547678-Fresl-C1