Théorème de la bijection

7 2.3. Opérations : Théorème : Soient deux fonctions f et g continues en x0 et un nombre réel λ. 1) Les fonctions f+g, λf et fg sont continues en x 0. 2) Si de plus g(x)≠0, alors Corollaire : 1) Toute fonction polynôme est continue en tout point de ℝ. 2) Toute fonction rationnelle est continue en tout point où elle est définie. 1 �� �� �� et sont continues en x0. 2.4. Composition d’une fonction ayant une limite L (L∈ ℝ) par une fonction continue en L : Théorème : Soit x0 un élément de

fonction de R dans R vérifiant : ∀(x, y) ∈ R2 , |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|2 1. Montrer que f est continue sur R. 2. Montrer que f est dérivable sur R et ∀ x, f (x) = 0. 2 Dérivabilité de bijection réciproque Exercice 7 Soit f : x −→ x3 + x. 1. a) Montrer que f est bijective de R dans R, notons g sa bijection réciproque. Donner une relation liant x et g (x). b) Montrer g est continue et dérivable sur R, et exprimer g en fonction de g. c) Montrer que g est de classe C ∞ . 2. Déterminer limg, puis

d’ sous-espace a¢ ne F de E par une application a¢ ne f un de E dans E 0 , est un sous-espace a¢ ne de E 0 . ! ! ! f (I + F ) = f (I) + f F . La dimension du sous-espace image est donnée par le théorème du ! ! rang appliqué à la restriction de f à F . (d) Caractérisation des bijections a¢ nes, bijections a¢ nes ayant même partie linéaire, groupe a¢ ne GA (E). 2 Exercices 1. Parmi les sous ensembles suivants de l’ espace vectoriel des fonctions de R dans R, lesquels en sont des sous-espaces

des matières Introduction : Mathématiques et informatique 1) Test de niveau 2) Calculs 3) Raisonnement par récurrence 4) Equations, inéquations, systèmes d’équations linéaires 5) Etude de fonctions 6) Intégration 7) Applications et bijections. Bijection réciproque 8) Logarithme et exponentielle 9) Suites numériques 10) Notions de combinatoire 11) Division euclidienne, pgcd et algorithme d’Euclide Mathématiques et informatique La caractéristique de ce cours est de lier l’informatique

habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont ceux qui interviennent dans la formule du binôme de Newton. 6°/ Fonctions réciproques : Le théorème des fonctions inverses Si f : I → J est dérivable, bijective et si f ′ ( a ) ≠ 0 pour un élément a de I, la fonction réciproque g = f −1 est dérivable en f(a) et g ′ ( f ( a )) = 1 (Théorème des fonctions inverses). f ′(a ) Cela est assez clairement illustré par les représentations graphiques de f et de g qui sont symétriques par rapport à

Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques et limites. Le nombre e. 2 - Fonction logarithme de base a : définition, propriétés algébriques, limites

plan étant choisi, le graphe de f s’identifie à l’ensemble des points de coordonnées (x; f (x)) pour x décrivant E, appelé courbe représentative f dans R. PCSI 1 Lycée Descartes 2 LES FONCTIONS USUELLES I.2 Injection, surjection, bijection Définition I.3 Une application f : E → F est : • injective si tout élément de F possède un unique antécédent par f . • surjective si tout élément de F possède au moins un antécédent par f . • bijective si elle est injective et surjective ou autrement

f (x). f est monotone sur D1 (resp. strictement monotone sur D1 ) si f est croissante ou décroissante sur D (resp. strictement croissante ou décroissante sur D1 ). Théorème Soit f : D → R strictement monotone sur D. On a : 1. f est une bijection de D sur f (D) et admet une fonction réciproque notée f −1 . 2. f −1 est une bijection strictement monotone de f (D) sur D, f −1 a même monotonie que f . 3. Dans un plan muni d’un repère (O,￿ ￿ orthonormé C et C ￿ courbes représentatives i, j) de f et

pour que f (x) soit à distance ε de l, il sut que x soit susamment voisin de a. Toutefois, il faut faire attention : cette formulation dissimule l'idée importante de la dénition à savoir que le voisinage en question dépend de ε. x→a Théorème 1. x→a Unicité de la limite Soient f : I → R une fonction et soit l et l′ deux réels. On suppose que lim f (x) = l et lim f (x) = l′ . Alors l = l′ . x→a Remarque 1. La limite en un réel a est unique mais elle n'est pas forcément

n→+∞ Remarque II.3.4. — Une suite divergente soit admet une limite infinie, soit n’admet pas de limite. Proposition II.3.5. — Si une suite converge, alors sa limite est unique. II.3.2 Limites de références Théorème II.3.6. — Soit α ∈ R∗+ . On a lim nα = +∞ n→+∞ lim n→+∞ 1 = 0. nα Théorème II.3.7. — Soit q ∈ R. On a lim q n = n→+∞ La suite (q n )n∈N ne possède pas de limite si q Proposition II.3.8. — Soient α ∈ R∗+   1 si +∞ si  0 si q=1 q>1 . −1 < q < 1 −1. et q > 1. On a qn = +∞