Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

cône de révolution est le segment qui joint le centre de ce disque au sommet du cône; il est perpendiculaire au disque de base.  | Remarque :La surface latérale d'un cône, appelée aussi développement, est générée par l'hypoténuse du triangle rectangle.Elle a la forme d'un secteur de disque.Exemple :Tracer un cône en perspective et décrire les éléments de ce solide.- Le sommet du cône est le point S.- La base de ce cône est le disque de centre O: on la représente en perspective par un ovale

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si

est ┴ à l'une, alors elle est ┴ à l'autre. - 2 droites sont orthogonales si elles st // à des droites sécantes orthogonales Cercle - Si un point M est sur un cercle de centre O et de rayon r, alors OM= r - Si un ∆ est rectangle, alors le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit, càd la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse. - Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors (MA) est ┴ à (MB) Médiatrice - Si un point est équidistant des

représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. BAT-001a105.indd 2 25/07/07 8:48:26 > S ommaire

pèsent 300 × 10 Kg = 3 000 Kg = 3 t La charge maximale transportée étant de 1, 7 t, il faudra faire deux aller-retour pour transporter 300 parpaings. ABC est un triangle rectangle en A. [AC] est le côté opposé à l’angle ABC et [BC] est l’hypoténuse. On utilise donc le sinus de l’angle ABC AC 3 cm sinABC = = = 0, 5 BC 6 cm À la calculatrice on trouve que ABC mesure 30◦ . Figure 2 2. La maison est à 10 km du magasin, donc 2 aller-retour représente 4×10 km = 40 km. Le forfait 1 jour pour 50 km maximum

81 + 144 = 225 2 2 2 Donc AC = AB + BC D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. b) Voir figure en fin d’exercice. 2. a) Voir figure en fin d’exercice b) Dans le triangle ABC, les points A, E, B d’une part et A, F, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. AF 5 1 AE 3 1 = = et = = On a de plus : AC 15 3 AB 9 3 AE AF Donc = AB AC D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles. AE 1 1 = donc

4P ≥ 0 1er exemple Il s'agit de déterminer les longueurs des côtés d'un rectangle dont on sait que le périmètre vaut 40 m et l'aire 96 m2. 40 Désignons par L1 et L2 les longueurs cherchées, on a S = L1 + L2 = 2 = 20 et P = L1 L2 = 96. D'après le théorème précédent L1 et L2 sont solutions de l'équation x2 – Sx + P = 0, soit x2 – 20x + 96 = 0 Calculons le discriminant réduit, ∆' = 102 – 1 × 96 = 4. Les solutions sont x1 = Donc L1 = 8 et L2 = 12. 2e exemple Soit à déterminer deux nombres réels dont

sur le cercle de centre A. Comme E est le symétrique de B par rapport à A alors A est le milieu du segment [BE]. Donc les points B, C et E sont sur le cercle de centre A et de diamètre [BE]. Le triangle BCE est donc inscrit dans un cercle dont un des diamètres est un des côtés du triangle. Le triangle BCE est donc rectangle en C. 3. (2 pt) Dans le cercle de centre A et de diamètre [BE] : EC L’angle EAC est un angle au centre interceptant l’arc c L’angle ABC = EBC est un angle inscrit interceptant l’arc

3 Angles au centre [pic] 4) Angles inscrits [pic] 5) Unités d’amplitudes d’un angle a) Le degré i) Historique Les degrés ont été introduits par les babyloniens (environ 2000 ans avant J.C.) qui avaient un système de numérotation sexagésimal (base 60).Ce système a pour origine le fait qu’une année (et donc une révolution complète de la Terre autour du soleil) dure approximativement 360 jours. Ainsi le degré correspond à l’angle associé à l’arc

4 = 25 = 52 Le résultat est 52 Activités géométriques Exercice 1 1. a. Prouvons que ABC est un triangle rectangle en B Le côté le plus grand est [AC]. AC2 = 152= 225 AB2+ BC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225 AC2 = AB2+ BC2 D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. b. 3. Calcul de l'aire du triangle FEA Aire du triangle = (base × hauteur) / 2 • Prouvons que le triangle FEA est rectangle en E. (CB) // (FE) (CB) ⊥ (BA) Lorsque deux droites sont parallèles,