Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

Proposition 1 Proposition 2 Proposition 3 On considère un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 2 6 cm. Quel est le volume de ce cylindre, exprimé en cm3 ? On considère dans un cercle un angle inscrit et un angle au centre qui interceptent le 3 même arc. L’angle au centre mesure 34°. Combien l’angle inscrit mesure-t-il ? S 18π 54π 36π 34° 17° 68° D 4 C Ni rectangle, ni isocèle Rectangle et isocèle Isocèle mais non rectangle B A Le dessin ci-dessus représente en perspective

; 125[est 5 : Angle d’une modalité (dans un diagramme circulaire) = 360°× Effectif partiel de la modalité = Effectif partiel de la modalité Effectif total de la population Angle d’une modalité × Effectif total de la population 360° L’angle de la représentation de la classe [110 ; 125[dans le diagramme circulaire de la série est 36° et l’effectif total de l’écurie est 50 donc l’effectif partiel de cette classe est : Effectif partiel de la classe = 36° × 50 =5 360° Le nombre

sont donnés. Thalès propose en outre le "fameux Théorème de Thalès" qui lui permit de mesurer la pyramide de Kheops. La première démonstration de ce théorème est cependant à attribuer à Euclide (4e-3e av. J.-C.) qui la présente dans ses "Éléments", à la proposition 2 du livre VI. Thalès ne s'est pas beaucoup occupé des nombres, il s'est surtout intéressé aux figures géométriques, cercles, droites, triangles. Il fut le premier à considérer l'angle comme un être mathématique à part entière et il

2 : C appartient au cercle de diamètre [AB]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côté alors il est rectangle. Donc le triangle ABC est rectangle en C. Les angles ̂ et ̂ sont complémentaires d’où : ̂ Figure 3 : ABCDE est un pentagone régulier. Chaque angle au centre mesure Dans le cercle, ̂ est un angle au centre de mesure : Dans le cercle, l’angle inscrit ̂ est l’angle au centre ̂ interceptent le même arc, donc ̂ ̂ . Exercice 5 : 1. Masse

Géométr ie 12. Propriétés des angles Angles inscrits interceptant le même arc Deux angles inscrits dans un même cercle et interceptant le même arc sont égaux. 14. Droites remarquables d’un triangle H Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point. Ce point est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. M Angle inscrit, angle au centre La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de celle de l’angle au centre qui intercepte le même arc. A B O

cercle de centre I et de rayon R (R > 0) est IM = R où M (x; y) est un point courant sur le cercle. Comparer deux nombres positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés, l’équation du cercle s’écrit aussi IM 2 = R2 ou −−→2 IM = R2( −−→ −−→ −→ Si I(a; b) et M (x; y), alors IM = OM − OI (Chasles 2) = x y ) ( − a b et IM 2 = (x − a)2 + (y − b)2 . L’équation du cercle s’écrit donc explicitement : ) ( = x−a y−b ) (x − a)2 + (y − b)2 = R2 Exemples 1) Equation d’un cercle de centre I(2; −4)

cercle de centre I et de rayon R (R > 0) est IM = R où M (x; y) est un point courant sur le cercle. Comparer deux nombres positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés, l’équation du cercle s’écrit aussi IM 2 = R2 ou −−→2 IM = R2( −−→ −−→ −→ Si I(a; b) et M (x; y), alors IM = OM − OI (Chasles 2) = x y ) ( − a b et IM 2 = (x − a)2 + (y − b)2 . L’équation du cercle s’écrit donc explicitement : ) ( = x−a y−b ) (x − a)2 + (y − b)2 = R2 Exemples 1) Equation d’un cercle de centre I(2; −4)

(d). § II. — Du point. Représentation du point. Pouf déterminer la position d'un point donné A, on le projette sur deux plans rectangulaires (n° 4). La projection horizontale est désignée par a, et la projection verticale par a'. Théorème. 12. Après le rabattement du plan vertical, les projections d'un même point sont sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. En effet, la projetante Aa. est perpendiculaire au plan horizontal, Aa' Test au plan vertical; donc le plan Aa'ma

plus les points A, R, B d’une part et les points A, S, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (RS) et (BC) sont parallèles. b) Démontrer que ABC est un triangle rectangle. D’une part AC² = 841 D’autre part BC² + AB² = 441+400 = 841 On a donc AB² + BC² = AC². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 5 c) Les droites (RS) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier la réponse.

sur le produit scalaire Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire −→ −− − −→ Pour les sept figures suivantes, calculer AB · AC . Exercice 2 : Sur les expressions du produit scalaire Sur la figure ci-contre, on a tracé deux cercles de centre O et de rayons respectifs 2 et 3. 1) Calculer les produits scalaires suivants : −→ −→ − − a) OI · OJ −→ −− − −→ b) OI · OK −→ −− − −→ c) OI · OB −− −− −→ −→ d) OB · OA paul milan 1/ 10 17 mai 2011 exercices Premi` re S e √ 3 3 3