Théorème du rang

représentation graphique Théorème : Soit • si a > 0, • si a < 0, • si a = 0, (u n ) (u n ) (u n ) (u n ) une suite arithmétique de raison a ; est une suite strictement croissante est une suite strictement décroissante est une suite constante Représentation graphique : La représentation graphique d'une suite arithmétique est un ensemble de points alignés sur une droite. Exemple : 4) Somme de termes consécutifs Propriété : 1+ 2+ 3+ ...+ n= Démonstration : n(n+ 1) 2 Théorème : Soit (u n ) une suite

SUITES MONOTONES. 1. Convergence des suites monotones. 1.1. Théorèmes de convergence. Propriété : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Remarque : cette propriété ne donne pas la valeur de la limite mais uniquement son existence et une inégalité sur la limite. En effet, si (un) est croissante et majorée par le réel K alors pour tout n, un ≤ K et donc d’après le théorème de comparaison lim un # K . n! +" Propriété : une suite croissante

STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL REEL HOMOMORPHISME D’ESPACES VECTORIELS MATRICE ASSOCIE CANONIQUEMENT A UN SYSTEME DE VECTEURS COMBINAISON LINEAIRE DE VECTEURS D’UN ESPACE VECTORIEL SYSTEME GENERATEUR OU FAMILLE GENERATRICE DEPENDANCE LINEAIRE ORDRE ET RANG D’UN SYSTEME DE VECTEURS BASE D’UN ESPACE VECTORIEL CALCUL PRATIQUE 14 15 16 18 20 20 21 ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE ........................................................................ 21 EXERCICES CORRIGES……………………………………………………………………………………

par quotient :limn→+∞un= -2 un=(-1)n-n, n∈ℕ Pour tout n : (-1)n≤1 (-1)n-n≤1-n un≤1-n Or limn→+∞1-n=-∞ D’où, d’après le théorème de majoration, limn→+∞un= -∞ un= 4- sinn1+ n, n∈ℕ Pour tout n : -1≤sinn≤1 1≥-sinn≥-1 5≥4-sinn≥3 51+n≥4-sinn1+n≥31+n donc 31+n≤un≤51+n Or, par somme et quotient : limn→+∞31+ n=0 et limn→+∞51+ n=0 D’où, d’après le théorème d’encadrement : limn→+∞un=0 un= -2×3n, n∈ℕ On sait que limn→+∞3n= +∞ car 3 &gt; 1 D’où, par produit : limn→+∞un= -∞ un=n-n

Apprendre Les concours se préparent sur deux ans. Il est essentiel que les candidats aient fourni un travail régulier afin que les notions soient parfaitement acquises et que les automatismes soient bien en place. On ne peut utiliser à bon escient les théorèmes, définitions et propriétés que si on les connaît parfaitement c’est-à-dire si on en connaît les hypothèses et les conclusions. Un travail de « par cœur » est une composante fondamentale de l’activité mathématique. La constitution d’un formulaire personnel

(classe de 1ère) 1.1) Définition Une suite numérique est une fonction u définie de ℕ dans ℝ , qui à tout nombre entier n, fait correspondre son image u(n) qu'on note aussi un , n≥0 ou n≥1 ... La suite se note (u n )n . Le nombre un s'appelle le terme de rang n ou encore le terme général de la suite. Le nombre u0 s'appelle le premier terme ou terme initial de la suite . Autrement dit : Une suite numérique est une liste de nombres réels « numérotés » par les nombres entiers naturels en commençant à partir

et u n 1 = 2 u n1 u n−1 pour tout entier n. 1. Démontrer par récurrence que u n ∈ [ 2 ; 5 ] pour tout n4. En déduire que la suite est bornée. 2. Si la suite converge vers L, déterminer un encadrement de L. En déduire L. 3- Convergence : Théorème 1 : Toute suite convergente est bornée. Remarque 2 : Si une suite n’est pas bornée alors elle diverge. Propriété 2 : 1. Si une suite est croissante et n’est pas majorée alors elle diverge vers ∞ . 2. Si une suite est décroissante et n’est pas minorée

. . . . . . . . . . 3 FORMES BILINEAIRES-FORMES QUADRATIQUES 3.1 FORMES BILINEAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Expression dans une base-forme matricielle . . . . . 3.1.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Rang d’ une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . 3.2 FORME QUADRATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Forme bilinéaire symétrique (f:b:s) . . . . . . . . . 3.2.2 Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 ORTHOGONALITE .

note (E, +, ⋅). Notation et théorème démontré en TD : 1) l’ensemble (Rn,+, ⋅) de tous les vecteurs à n lignes et une colonne muni est un espace vectoriel réel. 2) l’ensemble (Mm,n ,+, ⋅) de toutes les matrices à m lignes et n colonnes est un espace vectoriel réel 2. LES SOUS-ESPACES VECTORIELS • On appelle sous-espace vectoriel F, de l’espace vectoriel (E, +, ⋅), une partie de E telle que munie 1 des mêmes opérations que E, elle constitue un espace vectoriel. Théorème 1) Pour que F une partie non

Lebesgue, je défends dans ce texte qu'il est utile et possible de respecter les fondements de la rationalité mathématique lorsqu'on aborde par les aires le chapitre Intégrale. Dans ce travail qui a pour ambition la démonstration de quelques théorèmes d'analyse élémentaire, ce chapitre a sa place au Lycée en terminale scientifique. Sans aller jusqu'au développement complet de la théorie de Riemann, il me semble que par le calcul des aires on peut construire de façon cohérente une intégrale qui