Theorème De Thalès

C ONFIGURATION DE P YTHAGORE 1. Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle : Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypothénuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. B Ex 1 Calculer la longueur de l’hypoténuse : ABC est un triangle rectangle en A, AB = 5 et AC = 7 D’après le théorème de Pythagore, BC 2 = AB 2 + AC 2 = 52 + 72 = 25 + 49 = 74 et donc AB = 74 ≈ 8, 6. Ex 2 Calculer la longueur

ONFIGURATION DE P YTHAGORE 1. Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle : Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypothénuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. A C 7 cm B 13 5 cm Ex 2 Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit : ABC est un triangle rectangle en A, BC = 13 et AB = 5 d’après le théorème de Pythagore, on a AC 2 = BC 2 − AB 2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144 et donc AC = 144 =

........................................ Le triangle U P N est rectangle en P . Son hypoténuse est [N U ]. D’après le théorème de Pythagore : ◮2. Soit V U J un triangle rectangle en J tel que : U V = 19,3 cm et U J = 16,8 cm. Calculer la longueur V J. ............................................ Le triangle V U J est rectangle en J. Son hypoténuse est [U V ]. D’après le théorème de Pythagore : NU2 = UP2 + NP2 UV 2 = V J2 + UJ2 N U 2 = 5,42 + 7,22 V J2 = UV 2 − UJ2 V J 2 = 19,32 − 16,82 N U

droite sont donc sécants. d) Les droites (DI) et (AO) sont sécantes mais en un point imprécis. 2) (BC) appartient à (ABC) et (ED) appartient à (AED), or (BC)//(ED) et (IJ)//(BC) (car i est le milieu de (AB) et j le milieu de (AC). Donc d'après le théorème des milieux (IJ)//(BC) ) donc (IJ)//(ED): Si une droite est parallèle à une deuxième droite et que la première droite est parallèle à une troisième droite, alors ces trois droites sont parallèles entre elles. Les plans (ABC) et (EID) sont sécants

× = 5(cm) 2 S' P = 2 × [16 + 4 2 + 16 – 4 2 ] P = 64 (cm) 2/b/ A = (16 + 4 2) × (16 – 4 2) A = 162 – (4 2)2 A = 256 – 16 × 2 2/a/ P = 2 × [(16 + 4 2) + (16 – 4 2)] 11 cm A = 224 (cm2) 2/c/ Le triangle STU est rectangle en T, le théorème de Pythagore donne : SU2 = TS2 + TU2 d2 = (16 + 4 2)2 + (16 – 4 2)2 d2 = [162 + 2×16×4 d 2 = 256 + 2×16×4 Et finalement, d = 2 + (4 2)2 ]+ [162 – 2×16×4 2 + (4 2)2] 2 + 16×2 + 256 – 2×16×4 2 + 16×2 = 576 576 = 24 (cm) T' 4/7 U' SOLUTION

point b) 2 points TOTAL 6,5 POINTS Exercice 5 : 1. Dans le triangle ATM rectangle en T, le théorème de PYTHAGORE nous permet d'écrire : donc d'où 2. Les droitesetsont toutes les deux perpendiculaires à la droite donc elles sont parallèles. 3. Les droitesetsont sécantes en M. Les points M, A, T, H et S sont tous distincts. Les droitesetsont parallèles. D'après le théorème de THALES on a : donc d'où et 4. D'après la question précédente le rapport de réduction est

(BC) passant par F coupe le segment [AC] en G On note f(x) l’aire, en m² de la serre en fonction de x. 1) A quel intervalle I appartient la variable x ? (Justifier votre réponse) 𝑥 ∈ ]0; 6[ 2) Calculer la longueur AC j’utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABC rectangle en C :

triangle MB'N est un triangle rectangle en B'. D'après le théorème due Pythagore : MN² = MB ' ² B ' N² ainsi : MN² =2²  x² = 4  x² et MN =  4  x² 1 2 2 (Comme BM = BB ' il est clair que MB ' = BB ' = 3 =2 ) 3 3 3 3. N ' ∈ [ A ' B ' ] donc A ' N  NB ' = A ' B ' = 3 et A ' N = 3− NB ' =3 − x Comme en 2° la face A'B'C'D' du cube est un carré alors le triangle NA'S est un triangle rectangle en 3 ² A' et d'après le théorème due Pythagore : NS² = NA ' ²  A ' S² soit NS² =  3 − x 

D'après la réciproque du théorème de Thalès, = ED EC les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Calculer la longueur du segment [AB]. On peut alors appliquer le théorème de Thalès (les données EB EA AB CD×EA 15×7,2 ont été vérifiées dans le 1.) : . Alors AB= = = = =9 . ED EC CD EC 12 3. Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires. Dans le triangle CDE : CD2=15 2=225 , et ED2 + EC 2 =92 +122 =81+144=225 . ED2 +EC 2 =CD2 , donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

| | | |Utiliser le théorème de Pythagore | | | |Utiliser les formules trigonométriques ( calcul d’angle ) | | | |Utiliser le théorème de Thalès | |