Théorème Hos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques théorèmes d’arithmétique 2 Ensembles et applications 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Écriture d’un ensemble . . . . . . . . . 2.1.2 Comparaisons d’ensemble . . . . . . . 2.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . 2.2 . . . . . . .

la suite sauf un nombre fini d’entre-eux. 1 2 =0 • lim 2 + √ = 2 lim Exemples : • n→+∞ 3 + n n→+∞ n Contre-exemple : La suite (un ) de terme général un = (−1)n n’a pas de limite : c’est une suite alternée qui prend les valeurs 1 et -1. Théorème : La suite (un ) converge vers 0 si et seulement si (|un |)converge vers 0. Démonstration : Si (un ) converge vers 0, alors pour tout α > 0 l’intervalle ] − α; α[ contient tous les termes de la suite (un ) à partir d’un rang n0 . Donc pour n >

fonctionne grâce à une variante du petit théorème de Fermat. 1. Division euclidienne et pgcd 1.1. Divisibilité et division euclidienne Définition 1 Soient a, b ∈ Z. On dit que b divise a et on note b|a s’il existe q ∈ Z tel que a = bq . Exemple 1 – – – – – – 7|21 ; 6|48 ; a est pair si et seulement si 2|a. Pour tout a ∈ Z on a a|0 et aussi 1|a. Si a|1 alors a = +1 ou a = −1. (a| b et b|a) =⇒ b = ±a. (a| b et b| c) =⇒ a| c. (a| b et a| c) =⇒ a| b + c. 1 2 Théorème 1. Division euclidienne Soit a ∈ Z

FLUID Physique et Dynamique des Fluides ~~ Cours 6 : Bilan de quantité de mouvement David le Touzé / Isabelle Calmet ~ 2013-14 FLUID - Physique et Dynamique des Fluides D. Le Touzé – I. Calmet Centrale Nantes Rappels sur les théorèmes de transport (cf. MMC) Volume de contrôle fixe S2 Vf Notation: V f volume de contrôle figé dans l'espace S1 S f surface de contrôle = enveloppe Sf Volume de contrôle matériel Notation: V m (t) se déplace avec le fluide Chaque

Alors z × z × … × z =e ×e ×e ) ( × … … … … … .× e =e ( Or 1 + 2 + ⋯ … + n − 1 = e La 2) ( un La ) alors z × z × … × z ) =e =e ( ) = = (−1) réponse est C est une fonction continue sur [ , ], dérivable sur ] , [ et ) = ( ) .D’après le théorème de Rolle il existe au moins réel c tel que ( ) = réponse est C ′ ( )= 3) ( ) ⋯… =− = La réponse est C 4) = − + 5 + on a : |− | = 1 une rotation d’angle ( =( Z = )( ) )( ) = ≡− [ (− ) ≡ − [2 ] alors R est ] et de centre I tel que

C'est a partir du moment ou il envoya des lettres en 1913 au mathématiciens anglais qu'il est reconnu dans le monde entier. Seul un mathématiciens, "G.Hardy" lui répondis a sa lettre mystère. Ses lettres était composée seulement de formules et de théorèmes sans démonstration. Ainsi Hardy décidas de le rencontrer afin de comprendre son raissonnement car comme il pensais : "Elles devaient être vraies, parce que personne n'eût pu avoir l'idée de les concevoir fausses. ". Il passa 5 ans a travaillais au

d’après les lois d’arithmétiques personne ne sait qui l’a énoncé mais cela n’a aucune importance puisque que nous le démontré grâce à notre raison. C’est ce que nous faisons tous les jours en maths, on nous énonce un théorème, puis il faut savoir le démontrer grâce à des propriétés ou théorèmes précédemment acquis. Kant exprime donc que la connaissance va toujours avec le raisonnement. Mais il faut aussi réfléchir sur l’origine de la connaissance. I. Origine de la connaissance 1) Imitation des puissants

- b – Théorèmes fondamentaux : Unicité : A f (t) correspond F (p) unique A F (p) correspond f (t) unique Linéarité : Si f (t) = a.h (t) + b.g (t) Alors F (p) = a.H (p) + b.G (p) avec a et b constantes. Théorèmes des limites : Théorème de la valeur initiale : Théorème de la valeur finale : Théorème de la dérivation : On se place dans le cas où les conditions initiales sont nulles pour simplifier l’étude : L Théorème de l’intégration:

............................................................................................. 13 Quelques propriétés du déterminant d’une matrice :..................................................................................... 13 Quelques théorèmes ...................................................................................................................................... 13 9. Les mineurs, les cofacteurs et la matrice adjointe .....................................................

· α · = eα Log(t) ·α· e− Log(t) = αe(α−1) Log(t) = 1 t = αtα−1 1.0.9 Exercice. Pour α = −1, déduire la formule précédente de 4.1.3, puis prouver la pour α = n ∈ Z entier relatif par récurrence sur |n| et la formule de Leibniz . 1.0.10 Théorème (caractérisation des fonctions monotones dérivables). 7) Soit f : I → R dérivable alors f est croissante [resp. décroissante] si et seulement si pour tout t ∈ I on a f (t) ≥ 0 [resp. f (t) ≤ 0] En particulier f est constante si et seulement si sa