Tribu borélienne

Chapitre 2, Section 2.3 Tribu 6 Définition : La classe A est une tribu si elle vérifie les propriétés suivantes : ∅ ∈ A et Ω ∈ A. A ∈ A ⇒ Ac ∈ A. Si (An )n∈N est une suite d’éléments de A, alors ∩n∈N An et ∪n∈N An sont dans A. Une tribu correspond à l’information disponible. Un événement A ∈ A est aussi appelé un ensemble mesurable. Exemples : A = {∅, Ω} est la tribu grossière. Si A ⊂ Ω, {∅, Ω, A, Ac } est une tribu. L’ensemble P(Ω) des parties de Ω est une tribu sur Ω. 6. MAP 311, Chapitre

états du monde peuvent arriver. 11 12 CHAPITRE 2. MODÈLE BINOMIAL À UNE PÉRIODE F = {F0 , F1 } est un couple de deux tribus représentant l’information globale disponible sur le marché aux instants t = 0 et t = 1. En t = 0, on ne dispose d’aucune information : F0 = {∅, Ω}. En t = 1, on sait si l’actif est monté ou descendu : F1 = P(Ω) = {∅, Ω, {ωu }, {ωd }}. Cette tribu représente l’ensemble des parties de Ω dont je puisse dire à l’instant t = 1 si elles sont réalisées ou non. Remarque 2.1.1

Calcul des probabilités Deug 2ième année Gérard Letac , Université Paul Sabatier , Toulouse Juin 2001 Table des matières 1 L’espace de probabilités (Ω,A,P ) 1.1 Introduction . . . . . . . . . . 1.2 L’espace des observables Ω. . 1.3 La tribu des évènements A. . 1.4 La probabilité P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

face}, Ω2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω3 = l’ensembles des 32 carte, Ω4 = [0, +∞[, Ω5 = N. 18 Chapitre 2. Espace de Probabilité 2.1.2 Algèbre-Tribu Définition 2.3. Soit Ω un espace échantillon, une algèbre A sur Ω est une partie de P (Ω) vérifiant : i. Ω ∈ A ii. A ∈ A ⇒ A ∈ A. iii. A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A. Définition 2.4. Soit Ω un espace échantillon, une tribu ou une σ- algèbre F sur Ω est une partie de P (Ω) vérifiant : i. Ω ∈ A ii. A ∈ A ⇒ A ∈ A. iii. Si {Ak , k ∈ N} est une famille d’éléments de F

Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2011 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire . . . . . . . . 1.1.1 Un exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Mesures et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . .

(les données) F est une tribu sur Ω IP est une famille de lois de proba. sur (Ω, F) tq : IP→ (IPθ )θ ∈Θ θ ∈ Θ ⊂ ℜk qui dépend d’un paramètre vectoriel U. Paris Ouest L. Ferrara, 20122012-13 Hypothèse clé de travail : Les individus interrogés sont identifiés à des variables aléatoires X1 , …, Xn , à valeurs dans Ω (Ω = R ou Rd ), ) indépendantes et de même loi de distribution Pθ (i.i.d.) Remarques : R1: En général, Ω ⊂ Rd , on travaille alors avec la tribu des boréliens B d R d R2 : Quand Θ ⊂

d’urnes L E. P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 2.3 Définition généraleÉ C Probabilités . . . . . . . . . . . . . . des 2.3.1 Pourquoi la définition précédente ne suffit-elle pas ? . 2.3.2 Les ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Définition d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Probabilités sur un espace dénombrable . . . . . . . 2.4 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Conditionnement

x→−∞ x→+∞ 3. FX continue en tout point de R. 4. En tout réel x0 où f est continue, F est dérivable et F (x0 ) = f (x0 ) Admis Remarque : Quelle tribu choisir pour étudier une loi de probabilité continue ? La tribu formée des parties de R est très importante, trop ... On peut se donner comme tribu la tribu Borélienne (1898) qui est la tribu engendrée par les intervalles ouverts et on peut même se restreindre aux intervalles ouverts d’extrémités les rationnels : cette famille génératrice

I : Généralité sur les Processus Stochastiques Chapitre I Généralité sur les Processus Stochastiques I-1-Généralité sur les processus : I-1-1-Processus stochastique : Définition 1 : Tribu Soit Ω un ensemble et ξ un sous ensemble de l’ensemble P(Ω) des parties de Ω . On dit que ξ est une tribu si cet ensemble est stable par les opérations ensemblistes naturelles : Stabilité par U , I et par passage au complémentaire : si A et B appartiennent à ξ , alors A I B , A U B et A appartiennent

petite σ -algèbre contenant tous les ensembles de la forme : {ω | Bt1 (ω) ∈ F1 , . . . , Btk (ω) ∈ Fk }, où k ∈ N et pour tout j ≤ k : tj ≤ t et Fj borélien de R. Bt (ω) Dénition 2.1. Soit Dénition 2.2. On dénit V = V(S, T ), comme l'ensemble des fonctions f (t, ω) : [0, ∞[×Ω → R telles que : 1. f est B × F -mesurable (où B est la tribu borelienne sur R+ ) 2. f est Ft -adaptée T 3. E[ S f (t, ω)2 dt] < ∞ T On cherche à donner un sens à la formule If (.) = S f (t, .)dBt (.) (intégrale d'Itô