Tribu borélienne

Lebesgue élabore une théorie plus générale de l’intégration. Puis enfin, grâce à Radon vers 1913, les concepts de mesure et d’intégration, définis sur R et Rn , vont être étendus à des ensembles plus généraux sur lesquels on a défini une tribu. La notion de tribu, les théorèmes de décomposition de Lebesgue-Nikodym et l’existence des densités ont apporté un développement considérable à la théorie des probabilités et lui ont donné sa forme actuelle. La probabilité étant alors une mesure particulière

actifs sont normaux. Cet actif a une tendance donnée par µ et une volatilité donnée par σ toutes les deux constantes. Décrivons maintenant (Ω; F ; P) : L’ensemble des états du monde Ω sera un sous-ensemble de R+ ×]0, T ]. Pour tout t ∈ [0, T ], la tribu Ft représente l’information disponible à la date t, l’aléa provient seulement de S, donc Ft := σ (Sr , r ≤ t ) (1.23) La probabilité historique P est la probabilité de survenance de chaque état du monde, elle est telle que W soit un Mouvement Brownien

. . . . . . . . . . . . . 31 Espaces probabilisés infinis 31.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Tribu (ou σ-algèbre) de parties d’un ensemble . 31.2.3 Espaces probabilisables . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . 31.3.1 Définition et théorèmes sur le

1897), Lebesgue élabore une théorie plus générale de l’intégration. Puis enfin, grâce à Radon vers 1913, les concepts de mesure et d’intégration, définis sur R et Rn , vont être étendus à des ensembles plus généraux sur lesquels on a défini une tribu. La notion de tribu, les théorèmes de décomposition de Lebesgue-Nikodym et l’existence des densités ont apporté un développement considérable à la théorie des probabilités et lui ont donné sa forme actuelle. La probabilité étant alors une mesure particulière

Lebesgue élabore une théorie plus générale de l’intégration. Puis enfin, grâce à Radon vers 1913, les concepts de mesure et d’intégration, définis sur R et Rn , vont être étendus à des ensembles plus généraux sur lesquels on a défini une tribu. La notion de tribu, les théorèmes de décomposition de Lebesgue-Nikodym et l’existence des densités ont apporté un développement considérable à la théorie des probabilités et lui ont donné sa forme actuelle. La probabilité étant alors une mesure particulière

d9une —utre vF—F X f—™ilement simul—˜leF ille repose sur l— formule de ™h—ngement de v—ri—˜les suiv—nte X Lemme 1.3.12 (Formule de changement de variables) Soit φ un diéomorphisme d'un ouvert D ⊂ Rd sur un ouvert ∆ ⊂ Rd , et soit g une fonction borélienne bornée de ∆ dans R, alors g(v)dv = ∆ D g(φ(u)) |det( (φ)(u))| du . Preuve. †oir p—r exemple ‘SQ“F gomme goroll—ire immédi—t on o˜tient ∈ D p.s. où D est un ouvert de Rd . Soit ψ un diéomorphisme de D sur un ouvert ∆. Alors Y := ψ(X)

observation (ou une réalisation) du vecteur aléatoire X = (X1 , . . . , Xn ) ; (x1 , x2 , ..., xn ) est dit aussi un échantillon de données. Définition 1 Construire un modèle statistique revient à définir sur l’espace probabilisé IRn , muni de la tribu des boréliens B(IRn ) une probabilité Pθ , où θ est un paramètre ou un vecteur de paramètres inconnu. 4 Définition 2 Une statistique T est une application de l’espace (IR, B(IR), Pθ )n à valeurs dans IR. T : IRn −→ IR (x1 , x2 , . . . , xn ) −→ T (x1

statistiques et probabilités en 30 fiches Vecteurs aléatoires. Vecteurs gaussiens I Vecteurs aléatoires FICHE 19 Définition : Un vecteur aléatoire X est une application de ( , F , P) dans un espace vectoriel réel, en général R p muni de sa tribu borélienne. En pratique, R p est muni de sa base canonique et nous identifierons X au p-uple de variables aléatoires formé par ses composantes sur cette base X = (X 1 ,X 2 ,. . . ,X p ). Définition : La fonction de répartition F est une application de R

(l Ai E cg. 1 Les propriétés précédenles détinissent ce que l'on appelle une cr-algèbre de Boole ou une tribu, f7l(n) est une cr-algèbre particulière, la plus grosse, mais il n'est pas toujours utile ni souhaitable de J'utiliser. On peut donc donner maintenant la définition d'un espace probabilisable: DÉFINITION On appelle espace probabilisable le COl/pIe (il ; cg) où cg constitue une tribu de parties den. 5 l_Le modèle probabilîste Donnons encore quelques définitions utiles: DÉFINITIONS

reflète à travers la formation « d’un esprit ACCOR » ou « esprit sourire » clairement revendiqué ainsi que d’une communauté appartenant à l’entreprise « les accordiens ». « Accordien » est le nom de la tribu des collaborateurs de Accor, qui se dénomment ainsi entre eux héritiers des Novotéliens et des Boréliens. Nous pouvons retrouver à plusieurs reprises l’emploi de ce terme dans le livre publié par ACCOR « ACCOR l’aventure du possible ». B- Les outils de diffusion Nous nous demanderons par conséquent