Tribu borélienne

. . . . . . . . . 158 Appendice 1 Variables aléatoires gaussiennes . . . . . . . . 1.1 Gaussiennes réelles . . . . . . . . . . . 1.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . 2 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . 2.1 Exemples de sous-tribus . . . . . . . . 2.2 Propriétés de l’espérance conditionnelle 2.3 Calculs d’espérances conditionnelles . 3 Théorème de séparation des convexes . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

résultats possibles d’une expérience considérée est appelé l’univers et sera noté Ω. Définition 2 Nous appelons tribu sur Ω un ensemble F de parties de Ω qui vérifie les trois points suivants : 1. Ω appartient à F. 2. Si A appartient à F , alors Ω \ A appartient à F. +∞ 3. Si (An )n∈N est une suite de F alors An appartient à F. n=0 Définition 3 Soit F une tribu. Une sous-tribu de F est une tribu G telle que G ⊂ F, Remarque le couple (Ω, F) est appelé un espace probabilisable. Définition 4 Une probabilité

Montrer que l’injection canonique de S (Rd) dans C∞(Rd) est continue. 71.4 Espaces Lp On renvoie à [BP] pour un exposé très détaillé sur les espaces Lp. Soit (E,A, µ) un espace mesuré. On notera K = R ou C. Soit Ω un ouvert de Rd équipé de sa tribu borélienne et de la restriction à Ω de la mesure de Lebesgue λ. Soit p ∈ [1,∞]. On note q ∈ [1,∞] l’exposant conjugué de p (qui vérifie 1 p + 1 q = 1). Définition 5. Soit f : E → K mesurable. Pour p ∈ [1,∞[, on définit ‖f‖p = (∫ E |f |pdµ )1/p et ‖f‖∞ =

une somme inférieure ou égale à 2"   UFR de Sciences Economiques et de Gestion L2 - Support de cours - Probabilités - 2008/2009 - 10 - R. Abdesselam Remarque : P() l’ensemble des parties de  ( fini ou infini dénombrable ) est une tribu A de parties de  : P() =A Définition : Le couple ( , A ) est appelé espace probabilisable. Les éléments de A sont appelés événements. 2. ESPACE PROBABILISE FINI Soit  = { w1 , w2 ,.., wn } un ensemble fondamental fini et P() l’ensemble des

loi initiale et les noyaux de transition. Une manière plus sophistiquée, mais équivalente, d'énoncer la propriété de Markov, consiste à faire appel à la notion de tribu et de probabilité conditionnelle à une tribu. Etant donnée une variable aléatoire Z dénie sur (Ω, F), nous utiliserons la notation classique σ(Z) pour la sous-tribu de F engendrée par Z . Plus particulièrement, pour tout n ≥ 0, nous utiliserons la notation Fn := σ(X0 , . . . , Xn ). On peut alors reformuler la propriété de Markov

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 9 1 Probabilités 1.1 Espace de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 L’espace des observables Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 La tribu A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 La mesure de probabilité P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Variables aléatoires à valeurs réelles . . .

estimation paramétriques : restait seulement à estimer un paramètre. C’est essentiellement le cadre considéré par ce cours dans sa partie estimation ponctuelle. Notons la présence des ensembles suivants : • E=espace des observations possibles={0, 1} ; • E=tribu des événements sur E=P(E), ensemble des parties de E ; • Une famille de Probabilités constituée par toutes les lois de Bernoulli, P = {B(1, p) : p ∈ [0, 1]}. Nous verrons qu’ils définissent un modèle paramétrique qui dans le cas présent est appelé modèle

conseillé de revoir les chapitres 31 et 32 du cours de première année. Dans tout ce chapitre, Ω désigne un ensemble infini (et non dénombrable en général). 6.1 Espaces probabilisés infinis 6.1.1 Généralités – Tribu T de parties de Ω : définition, propriétés opératoires ensemblistes, tribu engendrée par une famille finie ou infinie de parties. – Espaces probabilisables : définition, vocabulaire. – Espace probabilisé (Ω, T , P) : définition, propriété de la probabilité P (en particulier formule du crible

avec une probabilité égale à 2 . 3 3.2 Probabilités Tribus et probabilités Soit Ω un ensemble non vide. Une tribu de Ω est un ensemble T de parties de Ω vérifiant les trois propriétés suivantes • L’ensemble vide ∅ et l’ensemble Ω lui-même sont dans T . • Si A est dans T , il en est de même de son complémentaire Ac = Ω \ A. • Si les ensembles An (n ≥ 0) sont dans T , leur réunion ∪∞ An est dans T . n=0 Une probabilité sur une tribu T est une application P : T −→ [0, 1] vérifiant • P (∅) = 0

caractérisent une « algèbre de Boole » de parties d’un ensemble E : appartenance de E à A, « stabilité » par réunion finie et par passage au complémentaire. Si on ajoute la stabilité par réunion dénombrable, on obtient une σ-algèbre ou tribu. σ–algèbre Voir tribu. L M alphabet grec Voir grec (alphabet). N O amplitude (amplitude) Terme souvent utilisé pour désigner la largeur d’une classe (bornée) : l’amplitude de la classe ]aj, aj + 1] est |aj + 1 – aj |. P Q analyse combinatoire