Base orthonormale

la matrice A. En particulier, si i est un entier pour lequel d i = 0 , que vaut Ai ? rapport au produit scalaire canonique a. Pour tout couple (i, j ) d’entiers naturels compris entre 1 et n, évaluer t Ai Aj . b. Montrer que l’on peut trouver une base orthonormée ( E1 , E 2 , ..., E n ) de Mn ,1 ( ! ) (par X, Y =tX Y de Mn ,1 ( ! ) ) telle que, pour tout c. En déduire qu’il existe une matrice E de On ( ! ) telle que A = E D . entier naturel i entre 1 et n, Ai = di Ei . 10. Soit A et

calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou tracés de courbes sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude. Exercice 1 4,5 points SABCD est une pyramide régulière dont la base est un carré de 240 cm de côté. 1°) On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base. Le tronc de pyramide obtenu (la partie différente de la réduction) est un récipient de 30 cm de profondeur et dont l’ouverture est un carré de 80 cm de côté. a) Montre que la hauteur de la pyramide initiale

que x2 = a, on déduit ce qui suit : x = \sqrt{-1 \times 9} = \sqrt{-1} \times \sqrt{9} = 3 \times \sqrt{-1} Puisque \sqrt{-1} est une nombre qui n'existe pas, on le remplace par la lettre i, choisie conventionnellement comme le nombre complexe de base et qui désigne donc la racine carrée de -1. Ainsi on a : x = 3i De façon plus générale, pour x2 = a et avec a < 0, on a x = \sqrt{|a|} \times i. Dérivée [modifier]La dérivée de la fonction carré est 2x, c'est une fonction affine impaire, et

Epreuve de Mathématiques Exercice 1 (5 points) A 36 cm S r 270 ˚ A Le schéma ci-contre représente le patron d’un cône de révolution de sommet S, de rayon de base r. La génératrice [SA] a pour longueur 36 cm. 1. Justifie que la circonférence de sa base mesure 54π cm. (1 pt) 2. Montre que son rayon de base r vaut 27 cm.(1,5 pt) √ 3. Justifie que la hauteur de ce cône est égale à 9 7 cm (1 pt) 4. Calcule l’aire de la surface totale de ce cône. (1,5 pt) On prendra π = 3,14 Exercice

Terminale S Pondichéry Avril 2007 L’espace est rapporté au repère orthonormal (O ; i , j , k ) . On considère le plan P d’équation 2 x + y − 2 z + 4 = 0 et les points A de coordonnées ( 3, 2, 6 ) , B de coordonnées ( 1, 2, 4 ) et C de coordonnées ( 4, − 2, 5 ) . 1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. b. Vérifier que ce plan est P. 2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle. b. Ecrire un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par O et perpendiculaire

Sujet 1, Sujet national, juin 2011, Exercice 4 L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i, j, k). Partie A On désigne par P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0 et par M0 le point de coordonnées (x0 ; y0 ; z0 ). On appelle H le projeté orthogonal du point M0 sur le plan P. On suppose connue la propriété suivante. Propriété : Le vecteur n = ai + bj + ck est un vecteur normal au plan P. Le but de cette partie est de démontrer que la distance d(M0 , P) du point M0 au plan P, c’est-à0 +by0

D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 1/4 3. Etudier la convexité ; préciser les points d’inflexion éventuels. 4. Tracer la courbe représentative ( C ) de cette fonction relativement à un repère orthonormal (O, i, j ) (unité : 2 cm). On donne les valeurs approchées suivantes : e −2 On précisera les points remarquables utilisés. 0,135 , e −1 0, 36 , e 2, 72 . II. Calcul d’aires 5. Etant donné un nombre réel h, h ∈ ]0,1[ , déterminer l’aire A

rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. - Ce sujet comporte 4 pages - Exercice 1. (5 points) Pour tous les candidats. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct [pic] ayant comme unité graphique 4cm. On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i ; – 1 et i. On considère l'application f de P \ {A}dans P qui, à tout point M de P\{A}d'affixe z, associe le poitn M' d'affixe z' tel que : [pic]

élèves ne connaissent les coniques que comme étant des représentations graphiques de fonctions. Cette approche est l’occasion de leur montrer que ces courbes peuvent aussi avoir une définition géométrique. Prérequis : manipulation des fonctionnalités de base d’un LGD - équation d’une hauteur. La réalisation de la figure permet de s’approprier les données de l’énoncé et sera une partie du compterendu. 1. Conjecture avec un LGD Le point H semble se déplacer sur la parabole d’équation y  x 2 , donc son ordonnée

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l’espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l’espace ; ; ; Partie A : Repère et vecteurs coplanaires Exercice 1 1 On considère la droite passant par 2; 1; 1 et de vecteur directeur 1 . 1 Pour chacun des points suivants, précisez s’ils appartiennent à : 3; 0; 0 ; 5; 2; 1 ; ; ; ; 2 √2; 1 √2; √3 1 Exercice 2 On considère les points 2; 3; 2 et 5; 1; 0 . . Exercice 3 Les points 1; 1; 0 , Exercice