Dérivabilité

................. 2  B.  PROPRIETES FONDAMENTALES DU LOGARITHME NEPERIEN. ............................................... 3  III.  ETUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. .............................................. 3  A.  CONTINUITE ET DERIVABILITE. ............................................................................................ 3  B.  INTEGRALE. .......................................................................................................................... 4  C.  LIMITES

clarté des raisonnements entreront en compte dans l’appréciation des copies. Le barème est sur 40.Ce barème pourra être modifié. Exercice 1 : (10 points) Calculez la dérivée (en précisant la formule utilisée) et déterminez l’ensemble de dérivabilité ( en justifiant par un résultat du cours) de chacune des fonctions suivantes : a) f définie sur par f(x) = x 2cos(x) b) g définie sur par g(x) = 3x 4 + x 3 + x 2 + x – 1 c) h définie sur par h(x) = [pic] d) i définie

DÉRIVATION Jean Chanzy Université de Paris-Sud ∗ 1 Nombre dérivé : 1.1 Dérivabilité en un point : On considère une fonction f définie sur un intervalle I ouvert, et trois réels a, h et x tels que a ∈ I, a + h ∈ I et x ∈ I. Définition 1.1. La fonction f est dite dérivable en a si le taux de variation de f de a à a + h, f (a + h) − f (a) , a une limite finie quand h tend vers 0, de sorte que h = 0. Si cette limite existe, on h l’appelle le nombre dérivé de f en a et on la note

dérivable en tout x ∈ R\{Q}. Il reste à étudier la dérivabilité en x rationnel et c’est Gerver qui en 1970 réussit à trouver le résultat assez inattendu : la fonction est dérivable en tout x ∈ Q. Depuis, d’autres propriétés de cette fonction ont été étudiées, propriétés qui analysent plus finement la régularité de cette fonction : en particulier son ordre de Holder local et son spectre multifractal. Le sujet a pour objet d’établir la dérivabilité de la fonction q au point 1 ; il utilise des outils

Par récurrence : [pic] Il existe des formules qui permettent de calculer plus aisément les dérivées de certaines fonctions. Soit U et V 2 fonctions qui respecterons dans chaque cas énumérer les ensembles de définitions et les ensembles de dérivabilité. A QUOI SET DERIVEE : MATHS Dérivée première : permet de déterminer l’allure de la courbe( surtout si la fonction est trop difficile. Dérivée seconde : permet de connaître la concavité ou la convexité de la courbe ; Dérivée première

par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction x prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0 x ; f1 (0) = 0; si x > 1 [000699] Correction Vidéo 1 f2 (x) = sin x · sin , si x = 0 ; x √ |x| x2 − 2x + 1 f3 (x) = , si x = 1 ; x−1 f2 (0) = 0; f3 (1) = 1. [000698] Indication

............................................................47 1.Comment montrer qu'une fonction f est dérivable en a∈ℝ ?...........................................47 2.Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en a∈ℝ ? ...........................................48 3.Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I donné ? ................49 www.salutmaths.com www.devenirbonenmaths.fr 3 f  a  h − f a =∞ h ou quelle conséquence graphique ce résultat

[pic] Théorème 3 u étant une fonction dérivable sur un intervalle I, alors [pic]est dérivable sur I et sa dérivée est égale à : u’[pic] Remarques : • exp étant définie (et dérivable) sur R, [pic] a le même ensemble de définition (et de dérivabilité) que u. • [pic] étant strictement positive la dérivée a le signe de u’. Donc u et [pic] ont mêmes variations.

Propriété I.5 (Dérivabilité de la bijection réciproque) f : I → J une bijection entre deux intervalles de R et y ∈ J LES FONCTIONS USUELLES 1. la fonction f −1 est dérivable en y si et seulement si f ′ (f −1 (y)) = 0 et dans ce cas, (f −1 )′ (y) = 1 . ′ (f −1 (y)) f 2. Si f ′ (f −1 (y)) = 0, le graphe de la fonction f −1 admet en y une tangente verticale. y=x ′ M0 x0 ′ M0 x0 y0 y0 M0 M0 f −1 dérivable en y0 f −1 non dérivable en y0 Figure 1 – Dérivabilité de la bijection

F est dérivable à droite en 0 et que F’d (0)= - 1. 2) a) Montrer que[pic]. b) En déduire que : 0[pic]. 3) Montrer que F est dérivable sur[pic]et calculer F’(x)[pic]. 4) a) Montrer que F réalise une bijection de[pic]. b) Etudier la dérivabilité de F -1 sur[pic] . EXERCICE N°4 : Soit f et g feux fonctions définies sur[pic] n désigne un entier naturel supérieur ou égale à 2. 1/ a) Montrer que[pic]. b) Démontrons que[pic]. 2/ On pose S[pic]. a) Vérifie que[pic]. b) En déduire