Graphe d'une fonction

DÉRIVATION I) NOMBRE DÉRIVÉ Définition 1 On dit qu'une fonction ¦ définie sur un intervalle I contenant a est dérivable en a s'il existe un réel A tel que : pour tout réel h tel que a + h Î I : ¦(a + h) = ¦(a) + Ah + hj(h) avec lim j(h) = 0 h®0 Le nombre A s'appelle nombre dérivé de ¦ en a ; on le note ¦'(a). Exemple : La fonction ¦, définie sur , par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est-elle dérivable en a ? Pour le savoir, calculons ¦(a + h) : ¦(a + h) = (a + h)2 + 3(a + h) – 4 = a2 + 2ah + h2

2010 Détails Catégorie : Fonctions numériques   On considère la fonction f définie sur  par  et on note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonomé  (unité 0,5 cm) A) Etude d'une fonction auxiliaire : soit g la fonction définie sur , par .   1) Etudier les variations de g   2) Déterminer alors le signe de g(x) pour    B) Etude et représentation graphique de la fonction f : 1) Etudier les limites de f en  et en    2) Montrer que la droite (D) d'équation y = 2x + 4 est

Scientifique Histoire de fonctions : Exercice 3 : Dérivées Rappel vu précédemment : Fonction : Quand une grandeur dépend d’une autre ou de plusieurs autres grandeurs, on dit que la première grandeur est une fonction des autres grandeurs que l’on appelle alors variables. La dérivée peut se faire par rapport a un nombre ou plus habituellement par rapport à une fonction. Cependant les deux existent et sont courrant. Nombre dérivé : Soit f une fonction définie sur un intervalle

. Nombre dérivé en x0 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0. On dit que f est dérivable en x0 si la quantité admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé en x0 et notée f '(x0). Remarque : Il ne faut pas écrire « » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée. 2. Meilleure approximation affine Théorème 1 f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un réel l tel que f(x0+ h) = f(x0)

y 8 Intégrales Intégrales et calculs d’aires -1 Alors : 4 3 A 2 1 A = ⌠ b f(x) dx u.a. ⌡a x 0 1) LES RESULTATS b Intégrale de a à b de la fonction f = ⌡ b f(x) dx = [ F(x) ] a = ⌠a F(b) – F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [ a ; b ] ; 0 1 2 3 4 5 6 7 (si le repère a comme unité 2 cm sur (Ox) et 3 cm sur (Oy) alors 1 u.a. = 6 cm².) 2) LES METHODES 1 1 ) dx et ⌡ 4 ( x – )dx ⌠1 x² x …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

Exprimer S en fonction de p. 2 2 w p: w // w m .e at du hs ca .e m du e r. ca o m rd er .o rg / 04 Points (série C uniquement) 2 2 2. Écrire un équation cartésienne du plan (ABC) 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 1 pt 0,5 pt 2. Démontrer que : (2p + p) < 4S < (2p + p + 2) . 3. On a) b) c) d) suppose que S est un carré parfait et on pose S = n², où n est un entier naturel. Établir l’existence et l’unicité de n lorsque p est fixé. (On pourra utiliser la question 2) Exprimer n en fonction de p.

 1 = e iθ = e -iθ e iθ http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Nombres complexes 3/4 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite Si g ou (vn) a pour limite Alors f + g ou (un) + (vn) a pour limite Les formes indéterminées On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents

indépendants, P(A ( B) = P(A)(P(B) = 0,3×0,5 = 0,15. Par suite, P(A ≥ B) = 0,3 + 0,5 – 0,15 = 0,65 . Question 3. On a : φ(x) – (2x – 1) = et = 0. Donc, la droite d’équation y = 2x – 1 est asymptote oblique en +( à la courbe représentative de la fonction φ. Question 4. A = 2 ln Erreur! Signet non défini. + 5 ln 2 + ln Erreur! Signet non défini. A = 2 (ln e – ln 4) + 5 ln 2 + ln 8 – ln e A = 2 – 2 ln 2 2 + 5 ln 2 + ln 2 3 – 1 car ln e = 1 A = 1 – 2 × 2 ln 2 + 5 ln 2 + 3 ln 2 car pour

réciproque de , et est notée id et , ainsi que la propriété : Méthode pour étudier la bijectivité d’une application et déterminer , on résout l’équation en , « 1. Si cette équation possède toujours une seule solution arrive à exprimer . 2. Si, pour au moins un de deux solutions dans Un résultat à connaître : Si et sont deux applications telles que id et surjective). injective). Donc id par en fonction de , alors on obtient même l’expression de bien précis, cette équation possède soit zéro solution

| | 2.3. uC = A.(1 – e – (.t) que l'on peut écrire uC = E.(1 – e –t / R.C ) Si t est ([pic], alors uC tend vers E. D'après le graphe n°2, uC tend vers 5,0 V. Donc E = 5,0 V 2.4.a) L'équation différentielle est E = R.C. [pic]+ uC à la date t E = R.C. [pic]+ uC(t) donc [pic]= [pic] à la date t = 0 s , uC(0) = 0 V ; [pic]= [pic] = [pic]= 4,8.102 V.s-1 2.4.b) |t ( ms )