Absolue continuité

la même limite que ses deux « gendarmes ». • Il existe quatre formes pour lesquelles la détermination de la limite est impossible : CONTINUITE ET DERIVATION L'étude des fonctions est complétée en terminale par la notion de continuité. C'est l'occasion de découvrir une fonction qui n'est pas continue : la fonction partie entière. Cette notion de continuité est importante en économie ; elle sert notamment à modéliser les phénomènes à effet de seuil. 1. Comment reconnaît-on une fonction continue 

− x0 Cette limite est appelée ”dérivée de f en x0 ” et notée: f ′ (x0 ) = lim x→x0 f(x) − f (x0 ) x − x0 2.2 Remarque 1 La continuité d’une fonction en un point est une condition nécessaire d’existence pour la dérivabilité de cette fonction en ce point. 2.3 Remarque 2 La dérivabilité d’une fonction en un point entraine obligatoirement la continuité de cette fonction en ce point. 2.4 Exemple Soit la fonction f de R dans R définie par f(x) = x2 − 3x + 1. * Etudions la dérivabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distance dans R : valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 11 12 12 12 14 15 Majorant, minorant, borne inf´rieure, borne sup´rieure . . . . . . . . . . . . . e e 1.3.1 1.3.2 D´finitions, exemples . . . . . . . . . . . . . .

conditions n´cessaires et e 2) On suppose que g(I) ⊂ I. La fonction f ◦g est-elle concave suffisantes ` la convexit´ sur R de la fonction f . a e sur I ? Exo 55. D´montrer ` l’aide de la d´finition 2 d’une fonction e a e convexe, que la fonction valeur absolue est convexe sur R. pour m = −1, m = 1.5 et m = 3. 40 Convexit´ et d´rivation e e D´f 39.3. Une fonction f est dite strictement convexe e sur I si et seulement si pour tout (a, b, t) dans I × I × [0; 1], f t a + (1 − t) b < t f (a) + (1

Règles de calculs dans ℝ II) Puissances III) Racine carrée IV) Valeur absolue V) Inégalités VI) Identités remarquables PARTIE II RESOLUTION D'EQUATIONS ET D'INEQUATIONS I) Résolution d'équations II) Résolution d'inéquations III) Résolution de systèmes linéaires PARTIE III ETUDES DE FONCTIONS I) Généralités II) Fonctions usuelles III) Limites de fonctions IV) Comportement asymptotique V) Dérivation VI) Tangente VII) Continuité VIII) Intégration PARTIE IV SUITES NUMERIQUES I) Généralités II) Suites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Fonctions R → R 19.1. Ensemble de définition . . . . . . . . . 19.2. Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3. Limite et continuité . . . . . . . . . . . 19.4. Continuité sur un intervalle . . . . . . 19.5. Fn en escalier, continue par morceaux 19.6. Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . 19.7. Equivalents . . . . . . . . . . . . . . . 19.8. Négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . e 1.4.4 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.1 Continuit´ en un point . . . . . . . . . . . . . e 1.5.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.5.3 Continuit´ globale . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.4 Hom´omorphismes . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.5 Uniforme continuit´ et Lipschitz continuit´ . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nécessite une réflexion sur la notion de fonction et de continuité. • Pour quelles fonctions ϕ les expressions an et bn sont-elles calculables ? Question liée au développement de la théorie de l'intégration. • Les séries convergent-elles, et si oui, est-ce vers ϕ ? Ce qui nécessite une théorie de la convergence. • ϕ étant donnée, y a-t-il unicité de la série trigonométrique qui converge vers ϕ (si tant est qu'il en existe une) ? Continuité, intégration, convergence. A l'époque de Fourier, aucune

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Parties compactes d’un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Th´or`me de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 29 31 32 ´ C. Etude locale d’une application, continuit´ e I. Limite d’une application 0) Images directes et r´ciproques . . . . . . . . . . . e 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Cas d’un evn produit et de

W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le premier degré de régularité, noté C 0 , est la continuité ; le degré suivant, noté C 1 , est la continue différentiabilité ; encore plus régulières sont les fonctions C 2 , C 3 , ..., puis C