Absolue continuité

rencontrée. Il s’agit d’une fréquence, notée fi, et celle-ci peut apparaître sous divers aspects selon les critères retenus. 1- Fréquence absolue, fréquence relative : © www.e-tahero.net – Z.M.F * La fréquence absolue, comme son nom l’indique, donne le nombre d’unités en valeurs absolues. * La fréquence relative est calculée en divisant chaque fréquence absolue par l’effectif total de la population. En d’autres termes, la fréquence est exprimée en valeurs relatives multipliée par 100 donne un pourcentage

que e e +∞ n n ∀n ∈ N , k=n+1 ∗ fk (x) ≤ |fn+1 (x)| ≤ 1 n+1 Le majorant est ind´pendant de x ∈ [0, 1] et est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle. e e e (fn ) est donc uniform´ment convergente sur [0, 1] e Par th´or`me de continuit´ des sommes de s´ries de fonctions, e e e e L ∈ C 0 ([0, 1]) En particulier, L(1) = lim L(x) = lim ln(1 + x) = ln(2) x→1− x→1− 1.2 Etude de la s´rie e 1 k cos 2kπ 3 k≥1 . 2.1 On d´coupe la somme en trois parties selon la

. . . . . . . . Valeurs premières d’un polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps commutatif . . . . . . . . Quasi-surjectivité des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . Continuité des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-goupes discrets de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions à variations bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cesàro en version

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 18 18 19 19 19 19 Ensemble de définition . . . . . . . . . Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . Limite et continuité . . . . . . . . . . . Continuité sur un intervalle . . . . . . Fn en escalier, continue par morceaux Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . Équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . Négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . Dérivée, classe C 1 . . . Classe

Déterminer f (x2 + y 2 ) − f (0) . x2 + y 2 (x,y)→(0,0) lim F (x, y). Soit A une partie non vide de R2 et x un point de R2 . On note d(x, A) = inf x − a . Montrer que d : R2 → R est lipschitzienne. a∈A Exercice 2 [ 01734 ] Continuité   1 x2 + y 2 − 1 si x2 + y 2 > 1  . Soit f : R2 → R dénie par f (x, y) = 2  1 2  − x sinon 2 Montrer que f est continue. Exercice 7 [ 01738 ] Limite Exercice 3 Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : a) f (x, y)

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer

D´eterminer Dg ´el´ementaires. puis 1) ln(x d´ecomposer 3) en fonctions Universit´ e de Toulouse 1 Ann´ ee 2011-2012 Math´ ematiques (Rappels) Licence Eco. Gestion et Droit, L1 Deuxi` eme partie Limites Rappel. Les propri´et´es de la valeur absolue sont tr`es importantes pour la suite de ce module, les voici r´esum´ees cidessous : ⇢ x si x > 0 1) 8x 2 R, |x| = max{ x; x} = x si x < 0 2) 8x 2 R, 3) 8x 2 R, |x| > 0 ⇣ ⌘ |x| = 0 () x = 0 4) 8(x, y) 2 R ⇥ R, x y = |x| |y| 5) 8(x, ) 2 R ⇥ [0;

fonctions. a. Chaque fonction fn est continue par morceaux sur l’intervalle I et est majorée en valeur absolue par la fonction ϕ qui est intégrable sur I. On en déduit que chaque fonction fn est intégrable sur I. Soit x ∈ I. Pour tout entier n, on a |fn (x)| ≤ ϕ(x) et quand n tend +∞ on obtient |f(x)| ≤ ϕ(x). Ainsi la fonction f est par hypothèse continue par morceaux sur I et majorée en valeur absolue sur I par la fonction ϕ qui est intégrable sur I. On en déduit que f est aussi intégrable sur I. π

MATHéMATIQUES Terminale ES v 06/09 Partie A : Sommaire Cours ................................................................... 3 Chapitre I : Continuité et Limites ............................................................................ 4 I. Notion de Continuité 4 II. Les Limites 5 Chapitre II : Dérivation et Etude de fonctions ....................................................... 11 I. Nombre dérivé - Fonction dérivée 11 II. Dérivation et Etude de fonction 12 III. Equation

UNIVERSITE LEIBNIZ Gottfried Wilhelm , 1646-1716 Daubelcour Jean-Pierre IREM de Lille 1 SOMMAIRE PREFACE CHAPITRE I : LES NOMBRES REELS COMME DEVOPPEMENT DECIMAL ILLIMITE. CHAPITRE II : LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS . CHAPITRE III : CONTINUITE D'UNE FONCTION DE LA VARIABLE REELLE. CHAPITRE IV : PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE DE R. ( La dichotomie : outil de calcul et de démonstration) CHAPITRE V : COMPLEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL( La dichotomie : outil de calcul