Absolue continuité

a Dans le cadre de l’intégrale de Riemann, pour f régulière, ces résultats s’obtiennent aisément : la continuité de f fournit le premier, et l’existence d’une dérivée continue suffit au second. La question est : l’intégrale de Lebesgue permet-elle d’étendre ces résultats, en relaxant les hypothèses de régularité effectuées sur f ? La réponse est affirmative : Définition : (Absolue continuité) [1], p.178 On dit qu’une fonction f définie sur un segment [a, b], à valeurs dans C, est absolument continue

n m E(x)dx, o` E(x) d´signe la partie enti`re de x. u e e Exercice 2 - Retrouver la fonction - Math Sup Soit f : [a, b] → R continue telle que |f (x)| ≤ 1 pour tout x ∈ [a, b] et Que dire de f ? = b − a. Exercice 3 - Egalit´ des valeurs absolues - L2/Math Sup e Soit f : [a, b] → R une fonction continue telle que b b f (t)dt = a a |f (t)|dt. Montrer que f garde un signe constant sur [a, b]. Exercice 4 - Changement de signes - L2/Math Sup Soit f : [a, b] → R, a < b, une fonction

et métrologie. Mots clés : polynômes, calcul vectoriel, trigonométrie, développements limités, statistiques. Plan Calcul vectoriel Continuité, dérivation et fonctions réciproques Fonctions trigonométriques et leurs réciproques Étude des polynômes Formules de Taylor Développements limités Probabilités et Statistiques Calcul vectoriel Continuité, dérivation et fonctions réciproques Fonctions trigonométriques et leurs réciproques Étude des polynômes Formules de Taylor Développements

règle de d'Alembert : Theorem 1.1.3. limite existe, alors (d'Alembert) Soit une série entière S (z) = ρS = lim n→∞ n≥0 an 0≤p≤n de B, et ap bn−p B = n≥0 bn . soient les séries , et en cas de convergence absolue de  AB numériques cn = Le terme général de la série produit est la série produit converge vers le produit (1.1.1) an z n . Si la an an+1 1.1.2. Opérations sur les séries entières. A = n≥0 AB et on a : 

d’intersection de la parabole avec l’axe des x vérifie 1 − x 2 + 3 x − 6 = 0 . Le discriminant de cette 4 équation du second degré est ∆ = 9-6 = 3. Il est positif : l’équation admet deux solutions x = 2(3 ± 3) = 6 ± 2 3 . 3 2) Limites et continuité Définitions : • Une fonction f admet une limite (finie) L en x0, si f(x) , avec x dans Df, se rapproche infiniment près de L lorsque x se rapproche infiniment près de x0. 1 • Si f admet une limite à gauche (quand x tend vers x0 par valeurs inférieures)

I Logique et raisonnement VIII Combinatoire et probabilités II Calcul algébrique Mathématiques par Stéphane Perret Version 3.001 V Géométrie III Trigonométrie IV Fonctions VI Continuité, comportement asymptotique et dérivée VII Calcul intégral Table des matières I Logique et raisonnement principes de base de la logique Le principe de non-contradiction . . . . . . . . . Le principe du tiers exclu . . . . . . . . . . . . Les implications . . . . . . . . . . . . . .

effective de la suite des itérés S vers l. D’après l’égalité des accroissements finis, on peut dire que pour tout x de I il existe un élément c compris entre x et l pour lequel f(x)- f(l)=(x-l)f ’(c). De l’hypothèse sur la majoration de la valeur absolue de la dérivée sur I on tire alors :  x I : Appliqué à x=xn avec n quelconque, cela donne : On en déduit facilement par récurrence, que pour tout n entier : Or puisque q ]0, 1[ , la suite de terme général qn converge vers 0. On

formule de la moyenne e Rappel Si E et F deux espaces vectoriels norm´s, on note L(E, F ) l’espace des e applications lin´aires continues de E dans F . C’est un espace vectoriel norm´ e e pour Φ = supu=0 Φ(u) . u Remarquons que sii dim E < ∞, la continuit´ est automatique. e On ´crira tout simplement L(E) lorsque F = E. On identifie L(R, F ) avec e F par Φ → Φ(1). Lorsque F = F1 × F2 , on identifie L(E, F ) avec L(E, F1 ) ⊕ L(E, F2 ). Lorsque E = Rm et F = Rn , on identifie L(E, F ) avec Mn×m . 1

π ] 2 Exemple Les inégalités 0 ≤ montrent que sin2 t sin2 t t2 t2 ≤ 1 t2 , avec les résultats vus sur les intégrales de Riemann, a une intégrale convergente sur [1 , +&[ ; il en est de même sur [0 , +&[ après avoir prolongé sin2 t par continuité en 0. t2 Corollaire Soient f et g deux fonctions positives, définies sur I = [a , b[ (resp. I = ]a , b] ) , localement intégrables sur I et telles que f(t) õ g(t) (t @ b-) (resp. t @ a+) . La fonction f a une intégrale convergente sur I si et

solution générale de (II) est ySG ( II ) = erx ( C1 x + C2 ) avec ( C1 , C2 ) ∈ R 2 3. ∆ = b 2 − 4 ac < 0 L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées soit en posant α = Partie réelle de r1 ( ou de r2 ) = − b 2a β = Valeur absolue Partie imaginaire de r1 ( ou de r2 ) = r1 = −∆ 2a −b + i −∆ −b − i −∆ = α + iβ et r2 = = α − iβ 2a 2a La solution générale de (II) est ySG ( II ) = eαx ( C1 cos βx + C2 sin βx ) avec ( C1 , C2 ) ∈ R 2 3. RESOLUTION de L'EQUATION COMPLETE (I)