Admète

matrice diagonale [pic]admet deux valeurs propres a et d. 2) Si[pic] la matrice diagonale [pic]admet une seule valeur propre a. Matrice à diagonale montante [pic] Une telle matrice ne porte pas de nom spécifique ; on peut dire qu’elle «est à diagonale montante » (sa diagonale descendante est nulle). E vérifie : [pic] 1) Si [pic][pic]admet les deux valeurs propres réelles [pic] 2) Si [pic] [pic]admet les deux valeurs propres complexes [pic] 3) Si [pic] [pic]admet 0 pour seule valeur propre

) ( ) | par : | 1. Donner le développement limité de , à l’ordre , dans un voisinage de . En déduire que le graphe de admet une tangente ( ) au point d’abscisse . Donner une équation cartésienne de ( ) et préciser la position du graphe par rapport à ( ). 2. En utilisant un développement asymptotique de en , démontrer que le graphe de admet une asymptote ( ). Donner une équation cartésienne de ( ) et préciser la position du graphe de par rapport à ( ). Allez à : Correction

Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer les limites suivantes ) √ √ ) √ ) ( ) √ ( ) ) ( ) Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 :

d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient : f(a+h)−f(a)h En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit : f(x)−f(a)x−a La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme). Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f′(a) : limh→0f(a+h)−f(a)h=limx→af(x)−f(a)x−a=f′(a) On considère la fonction f définie pour

l’origine. ou est Propriété réciproque : Dans un repère, toute droite (d) a une équation de la forme ou . Remarque : Si d est parallèle à l’axe des ordonnées alors d admet une équation du type . Si d est parallèle à l’axe des abscisses alors d admet une équation du type . Si d n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées alors d admet une équation du type 2. Calcul du coefficient directeur Propriété : Dans un repère, Le coefficient directeur a de la droite (AB) est sont deux points tels que . .

vn}]. D’où H[N(vi)]  Gi[N(vi)]. Ainsi, puisque H[N(vi)] contient une patte, Gi[N(vi)] contient aussi une patte, ce qui constitue une contradiction. Etant donné un graphe de Berge G = (V, E), il est possible de vérifier en temps polynomial si G admet un ordre d’élimination QLP de ses sommets. En effet, il suffit pour cela de déterminer pour tout i  {1, 2, …, n}, un sommet vi de Gi tel que Gi[N(vi)] soit sans patte, ce qui est possible en temps polynomial étant donné que les graphes de Berge

majorée sur [1, + ∞[ puis déduire que f admet une limite l en + ∞. B/ Soit g la fonction définie par gx=fx+f1x 1/ a- Etudier les variations de g. b- Déduire que l=2f1. 2 / On pose hx=tanx, pour x∈-π2, π2. a- Montrer que l=limx→π2fohx. b- Montrer que pour tout x∈-π2, π2 on a fohx=x. c- Déduire la valeur de l puis la valeur de f1. 3/ Construire la courbe C de f dans un repère orthonormé. C/ 1/ Montrer que l’équation fx=2x-1 admet une solution unique α∈0, 2. 2/ Soit u

[pic] est positif. Or [pic] donc pour tout x, [pic]. f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par [pic], avec [pic]. - Si [pic], f admet un minimum pour [pic]. Ce minimum est égal à [pic]. - Si [pic], f admet un maximum pour [pic]. Ce minimum est égal à [pic]. Remarque : Soit la fonction f définie sur [pic] par : [pic], avec [pic]0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour [pic]. (voir résultat

d’équation . est strictement croissante sur . c) est continue et strictement croissante sur . Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout réel compris entre et admet un unique antécédent dans . Or et et , . donc 1 est compris entre Par conséquent, 1 admet un unique antécédent dans . C'est-à-dire : l’équation possède une unique solution dans . Soit ce réel. TS 2009.2010 – DST.01.CORRIGÉ Par conjecture graphique, on trouve : Page 2 sur 14 fichier

variation que f. Si de plus, la fonction f est continue sur I, alors la fonction réciproque f ~' de f, est une bijection continue de l'intervalle J = f ( I ) sur I. Remarque : pour tout x e / et y e J , y = f (x ) x -f "' (y ) On admet que : Les courbes représentatives de / et de / ~' dans un repère orthonormé du plan, sont symétriques par rapport à la droite a : y = x . DERIVABILITE EN UN POINT f(x)-f(x ) On dit que f est dérivable en x0 o il existe un réel £ tel