Admète

la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente. On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et seulement si ∀A > 0 ∃n0 ∈ N ∀n

bijective il faut que {ny , y ∈ F } = {1}. Définition 1.7. On dit qu’une application f : E → F est une surjection ou est surjective ssi f vérifie l’une des trois propriétés équivalentes : (1) Tout élément y ∈ F admet au moins un antécédent dans E. (2) Pour tout élément y ∈ F , l’équation { x∈E f (x) = y admet au moins une solution (3) ∀y ∈ F, ∃x ∈ E tel que y = f (x) Pour déterminer si une application f : E → F est surjective, on se donne un élément quelconque y ∈ F et on résoud l’équation { x∈E f (x) = y où

fonction h définie par admet elle aussi une limite en a telle que : Ainsi, la limite d'une somme est égale à la somme des limites. Si l'une des deux fonctions admet une limite infinie, c'est cette limite qui prime. Dans le cas de deux fonctions de limites infinies opposées ( -∞ pour f et +∞ pour g, par exemple), il s'agit d'une forme indéterminée. Différence : Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction h définie par admet elle aussi une limite

ax = b ( équation dite du premier degré) où a, b sont des nombres réels donnés , a = 0 et x est b l’inconnue, admet une unique solution x = . a AES L1 S1-Mathématiques Equations du premier degré Soit a = 0 et b deux réels donnés, Toute équation de la forme ax = b ( équation dite du premier degré) où a, b sont des nombres réels donnés , a = 0 et x est b l’inconnue, admet une unique solution x = . a Donnons des exemples : x + 6 = 0 donc x = ..., AES L1 S1-Mathématiques x −

vulgaire, on ne doit le favoriser qu’avec une grande réserve, en sorte que l’agrément qu’il procure ne puisse jamais porter au dérèglement ». Platon et Xénophon ont tous deux écrit un Banquet : l'un en proscrit les joueuses de flûte, l'autre les y admet ; l'un dissuade de boire dans de grands vases, l'autre produit Socrate comme buvant jusqu'à l'aurore. Platon dans son Phédon, expliquant ceux qui se trouvaient auprès de Socrate, ne parle pas de Xénophon.Le Banquet dans l’œuvre de Platon Le Banquet

des contrats-cadre, la jurisprudence admet l'indétermination du prix en raison du fait que cela gênait la conclusion de contrats sur le long terme. C'est notamment dans un arrêt du 1er décembre 1995 que la Cour de cassation a déclaré que l'indétermination du prix dans les contrats-cadre n'affecte pas leur validité. L'arrêt admet également que l'abus dans la fixation du prix ne donne lieu qu'à la résiliation ou à l'indemnisation. Désormais la jurisprudence admet que le prix peut être unilatéralement

ramenée à zéro. On note R l’ensemble des réels. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (−x + 2)e−x . a. −∞ 1. La limite de la fonction f en +∞ est égale à : b. 0 c. +∞ a. n’admet aucune solution dans R 2. L ’équation f (x) = 0 : b. admet une seule solution dans R c. admet deux solutions dans R 3. L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0 est : a. y = −3x + 2 b. y = −x + 2 c. y = x + 2 1 e3 −1 b. 3 e 1 c. −3 e a. 4. Le minimum de f sur R est : PARTIE

l’équation n’a pas de solution dans R ; b – si ∆ = 0, l’équation admet une unique solution α = − dite racine double ; 2a −b − ∆ −b + ∆ – si ∆ > 0, l’équation admet deux solutions distinctes : x 1 = et x 2 = . 2a 2a 2) Forme factorisée – si ∆ < 0, le polynôme n’a pas de racines et ne peut être factorisé en produit de polynômes du premier degré ; – si ∆ = 0, le polynôme admet une unique racine et P (x) = a(x − α)2 ; – si ∆ > 0, le polynôme admet deux racines distinctes et P (x) = a(x − x 1 )(x − x 2 )

[pic]d’unité 1 cm. 1. Déterminer le domaine de définition de [pic], noté [pic]. 2. Démontrer qu’il existe trois nombres a, b et c tels que g(x) = a x + b + [pic]sur[pic]. 5. Étudier les limites de [pic]en [pic]et en [pic]. En déduire que la courbe [pic]admet une asymptote verticale D dont on précisera l'équation. 6. Étudier les limites de[pic]en [pic]et [pic]. 7. Démontrer que la droite Δ d'équation [pic]est asymptote oblique à la courbe[pic]en [pic]et en [pic] Préciser la position relative

solution. Montrer que 0,20 < α < 0,21. On utilise le théorème des valeurs intermédiaires. g est continue sur ]-3 ; +∝[ ; g est croissante sur ]-3 ; +∝[ lim g(x) = +∞ x − + −∞ g(-3) = − e −4 − 1 < 0 or 0 ∈ ] − e −4 − 1 ; +∝[. Donc l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α dans ]-3 ; +∝[. Sur l’intervalle ]-∝ ; -3], g est décroissante et g(-3) = − e −4 − 1 . Donc pour tout x de l’intervalle ]-∝-3], g(x) < 0 et l’équation g(x) = 0 n’admet pas de solution. A la calculatrice (par balayage), on obtient