Admète

principale des axes de coordonnées. Asymptotes. Si le graphe d'une fonction admet une asymptote verticale x = a, alors le graphe de sa réciproque admet une asymptote horizontale y = a et inversement. y 4 y=x 2 Le graphique ci-contre illustre le cas de la fonction f(x) = 1 1 et de sa réciproque g(x) = +1 x x 1 -6 -4 -2 0 2 4 -2 f(x) admet pour AV la droite d  x = 1 et pour AH la droite d’  y =0 -4 g(x) admet pour AV la droite d1 x = 0 et pour AH la droite d1'  y = 1 Exercices Déterminer

tout k Є *f(a);f(b)+, il existe un réel c compris entre a et b, tel que f(c) = k. * Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires: Si une fonction f est continue et strictement monotone sur *a;b+, alors pour tout réel k Є *f(a);f(b)+, f(x) = k admet une unique solution dans [a;b]. Positions relatives de deux courbes: Cf strictement au-dessus de Cg Cf strictement au-dessous de Cg Pour certaines valeurs de x, Cf est Cg ont des points communs Centre de symétrie Axe de symétrie Suites * Toute suite

matrices. Théorèmes  Si admet une décomposition , alors celle-ci est unique.   admet une décomposition si, et seulement si, ses mineurs principaux sont non nuls (le mineur principal d’ordre de désigne le déterminant de la matrice obtenue à partir de A en extrayant les k premières lignes et colonnes).  Si est simplement supposée inversible, alors peut s’écrire où est une matrice de permutation. Algorithme général de la décomposition LU On suppose que admet une décomposition , on a alors

(trous, épaulements) ;  le solide admet un seul et même plan de symétrie pour les charges et la géométrie. Exemples de poutres : Exemples de poutres ne satisfaisant pas l’hypothèse de symétrie : 1.2. Hypothèses fondamentales Les hypothèses simplificatrices de la résistance des matériaux sont les suivantes :  Les matériaux sont homogènes et isotropes ; homogènes : On admet que les matériaux ont la même composition, en tout point. isotropes : on admet que les matériaux ont, en un même

et P2 les plans d’équations respectives x + y – 3z +3 = 0 et x – 2y + 6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont un système d’équations paramétriques est : . P1 : x + y – 3z +3 = 0 admet comme vecteur normal, et P2 : x – 2y + 6z = 0 admet comme vecteur normal. Ces deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires donc P1 et P2 sont sécants selon une droite D. On constate par ailleurs que pour tout t, (–2) + (3t – 1) – 3(t) +3 = 0 donc D est incluse dans P1 et

appelés coefficients avec a  0 . Tableaux de variations : a >0 a <0 Courbes représentatives : a >0 a <0 Vocabulaire : Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. Remarque : Cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. II. Forme canonique Propriété : Un trinôme f  x  = ax 2 + bx + c peut toujours s’écrire sous la forme f  x  = a  x -   +   a  0  appelée forme canonique avec  = 2 b et 2a - b 2 + 4ac

fonction de W et P. d) Calculer le niveau de production assurant le plein emploi de la main d’œuvre soit YE en fonction de NS . 3 1.3 Equilibre à court terme On suppose que W et P sont rigidement fixés en W  2 et P = 2. On admet, par ailleurs que 3 M  1 et G  0 . a) Montrer que les firmes sont contraintes par la demande. b) En déduire les niveaux de production, d’emploi et de taux d’intérêt qui prévaudront dans cette économie. c) Caractériser, tant du

b ∈ R∗+ ; (ii) si a ∈ R alors soit a ∈ R∗+ soit a = 0 soit − a ∈ R∗+ ; Des propriétés précédentes on déduit les règles de calcul suivantes : (R1) pour tout a et b dans R, l’équation x + a = b admet une solution unique donnée par x = b + (−a) ; ∗ (R2) pour tout a ∈ R et b ∈ R, l’équation x × a = b admet une solution unique donnée par x = b × a−1 ; (R3) (R4) (R5) (R6) (R7) (R8) (R9) pour tout a ∈ R : a × 0 = 0 ; pour tout a ∈ R : −(−a) = a ; pour tout a, b ∈ R : (−a) + (−b) = −(a + b) ; pour tout

croissante sur I. Cela permet en particulier d’affirmer que : ∀x ∈ R, ch x ≥ ch 0 = 1. ch x ex + e−x Il est d’autre part clair que lim ch x = +∞. On observe alors que = tend x→+∞ x 2x vers +∞ quand x tend vers +∞. La courbe repr´esentative de la fonction ch admet donc une branche parabolique de direction asymptotique (Oy). y = ch x ✻ O ı ✲ Remarque : Cette courbe est appel´ee chaˆınette. Elle correspond en effet a` la position d’´equilibre d’un fil inextensible suspendu par deux de ses points. 37 6.3

ε. Proposition 1.3 (Unicit´ de la limite ` droite (ou ` gauche)) Soit f une application de D ⊂ R e a a dans R et a ∈ R. 1. On suppose qu’il existe c ∈ R t.q. a < c et D ⊃]a, c[. Si f admet une limite (finie) ` droite en a, a cette limite est unique. 2. On suppose qu’il existe b ∈ R t.q. b < a et D ⊃]b, a[. Si f admet une limite (finie) ` gauche en a, a cette limite est unique. ´ Demonstration : La d´monstration de l’unicit´ de la limite ` droite est tr`s voisine de la d´monstration e e a e e de l’unicit´