Admète

f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admet ` pour limite lorsque x tend vers x0si « f .x/ se rapproche de ` lorsque x se rapproche de x0 ». On note lim x!x0 f .x/ D `. Définition 1.2 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admetC1 pour limite lorsque x tend vers x0, si « f .x/ est de plus en plus grand lorsque x se rapproche de x0 » On note lim x!x0 f .x/ D C1. Définition 1.3 Soit f WR ! R une fonction.On dit que f admet ` pour limite lorsque x tend versC1si « f

0,3a + 0,6 0,1a = 2,6 a = 26 Le point A pour lequel la tangente ∆ à la courbe C est parallèle à D, a pour abscisse 26 Deuxième partie 1°) C (n) = f (n) pour n entier appartenant à [0 ; 40] or, d’après le tableau de variation du A 1°), f admet un minimum en x = 5 et f (5) = 7 – 2,8 ln 7 ≈ 1,55 donc le coût de production est minimal si on construit 5 villas et ce coût minimal est alors de 1,55 millions d’euros soit 1 550 000 € 2°) Chaque villa est vendue 300 000 € soit 0,3 millions d’euros

intermédiaires : Si f est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b] On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)]. Existence d'une solution L'existence d'une solution

méthodes. On admet qu’elle représente une juridiction constitutionnelle mais également, que c’est un instrument fondamental. A. Une juridiction constitutionnelle aux procédures originales. 1. La procédure devant le Conseil constitutionnel. a) Les auteurs de la saisine. b) Les requêtes. 2. La naissance de la question prioritaire de constitutionnalité: Le comité Balladur. a) Une période difficile: 1990-1993 b) Un aboutissement. La question prioritaire de constitutionnalité admet des procédures

réel A défini par : [pic] 3. Soit[pic]définie sur [pic], périodique de période 2, dont la courbe représentative[pic]est tracée sur [pic] dans le document réponse n°1. On admet que le développement en série de Fourier[pic]associé à la fonction[pic], est défini par : [pic]. Justifier que : [pic] 4. Soit [pic]et [pic] les fonctions définies sur[pic]

(a)(x − a) + f (a) 2 2.1 Extremum d’une fonction D´finitions e D´finition 1 : e f est une fonction d´finie sur un intervalle I et c un nombre dans I. e 1. f admet un maximum local en c s’il existe un intervalle ouvert ]a ; b[ inclus dans I et contenant c tel que, pour tout nombre x dans ]a ; b[, on a : f (x) f (a) 2. f admet un minimum local en c s’il existe un intervalle ouvert ]a ; b[ inclus dans et contenant c tel que, pour tout nombre x dans ]a ; b[, on a : f (x) f (a) 3. Un extremum

généralement lim a = +∞ pour tout a > 0 x → +∞ x x → +∞ x -2- lim xex = 0 et plus généralement lim xaex = 0 pour tout a > 0 x → –∞ x → –∞ ln(x) 1 – ln(x) Montrons (i). Soit f(x) = . f admet pour dérivée f '(x) = qui est négative pour x > e, x2 x donc f est décroissante strictement positive sur [e, +∞[. Elle admet donc une limite l positive ou nulle ln(y) en +∞. Cette limite est aussi celle de avec y = x2, soit : y ln(x2) =l lim 2 x → +∞ x 2ln(x) ⇒ lim =l 2 x → +∞ x ln(x) 1 ⇒ lim 2 × × =l x x x →

représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. Définition : Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole. Exemple : La fonction f définie sur ℝ par admet un maximum. En effet, le coefficient devant x2 est négatif, f est d’abord croissante, puis décroissante. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que. Alors f admet un extremum pour . Méthode : Déterminer

(x) = 2x² + 3x – 5 : …………………………………………………Page 2 sur 5 Théorème (admis) : Soit f définie sur ℝ par f (x) = ax2 + bx + c avec a  0. Si x1 est une racine du trinôme f (x) alors f (x) se factorise par (x – x1) et on a f (x) = (x – x1)(ax + d). Si f admet deux racines x1 et x2 alors f se factorise sous la forme f (x) = a(x – x1)(x – x2). Remarque : une fonction trinôme peut avoir soit zéro, soit une ou soit deux racines. Exemples : a) A l’aide d’une racine évidente factoriser f (x) = 2x² + 3x – 5

¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0. Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique On rappelle que lim t®0 sin(t)